9. L ES POLYNÔMES DE LAGUERRE
En utilisant la relation de Leibnitz, on peut transformer la dernière expression :
+ exp(x)-- i!a s [exp( -x)xnfu]
Comme par ailleurs on peut écrire :
~L:(X) = n,exp(x)ss [(n + 0) exp(-x)xn+aP1
- exp(-x)3?+“]
puis,
-nexp(z)L ,T(’ ~bp(-~)xn+a] = ~L:(X) - (n + a) exp(-z)L;_,(z) ;
on trouve esdéfinitive la relation de récurrence cherchée :
(n + l)Lq+&) - (2n + 1 + QI - z)nL;(z) + (n + a)L;-l(x) = 0.
(9.9)
13.2. Relation de récurrence faisant intervenir les dérivées
,
Dérivons la relation de définition (9.8) :
[L;(x)]’ = ~[exp(x)x-” - cm-U-1 exp(x)]&[exp(-z)z’“Pa] + exp(s)s$[(n + o)
x exp( -2)xn+“-l - exp( -2)2n+CY]
On obtient alors :
[L;(X)]’ = -~L:(X) + (n + cy)exp(x)$& [exp(-x)2?+“-‘] .
Grâce à la formule de Leibnitz, nous allons transformer la dernière expression du membre de
droite, ce qui donne :
(n + a) exp(x) 5 z $ [exp( -2)5n+a-1] = (n + o) exp(z) g $$ [exp(-z)zn+“]
- ns [exp(-z)lçn+u-l]
= “+“LE(x) - n+Lg1(~).
X
X
De là nous tirons une relation de récurrence faisant apparaître la dérivée d’un polynôme dont
nous aurons besoin pour calculer les Hk :
X[L,“(X)]’ = @n(x)] - (n + n)[L:-l(x)].
(9.10)
13.3. Orthogonalité des polynômes de Laguerre généralisés
Il s’agit de calculer l’expression :
J = wexp(-x)P[LE(x)][Lg(x)] dz
./’
0
= Jexp(-x)x7 & [exp(-x)@“] s [exp(-x)zm+a]
dz.
0
151