MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
qui se calcule évidemment par la méthode de Gauss-Laguerre. D’un point de vue pratique, les
calculs ne sont pas toujours aussi simples, notamment si la fonction h(y/p) a à peu près l’allure
d’un pic entre zéro et Z,in (x,in est la plus petite racine de L,(z) polynôme de Laguerre de
degré n servant à l’intégration numérique). Bien entendu, plus le degré n est élevé, plus X,in
tend vers zéro et meilleure est la précision du calcul. Malheureusement, en calcul usuel, il est
difficile de dépasser le degré 12 ou 13. Nous n’allons pas renoncer pour autant à utiliser cette
technique. Il suffit de couper judicieusement l’intervalle (0, co) en deux de la façon suivante :
a
w
F(P) = i
J
~(Y/P) exp(-y) dy + y
J
~(Y/P) exp(- y) dv
0
a
a étant déterminé par des considérations sur la fonction h(y/p). La première intégrale se calcule
par la méthode de Gauss-Legendre, la méthode de Simpson etc., tandis que la seconde intégrale
se calcule par la méthode de Gauss-Laguerre en posant z = y - a, soit :
1 mh(y/p) exp(-y) dy = i T~[(z + a)/@ exp(-z)dz.
P J a
0
L’intérêt est évident dans la mesure où l’on a une très bonne estimation de la queue de la
fonction.
13. Appendice : Les polynômes de Laguerre généralisés
Les polynômes de Laguerre sont susceptibles d’être étendus en écrivant une formule de définition
plus générale :
L:(z) = exp(a)$$[exp(-z)zn+rr]
avec toutefois une restriction concernant le paramètre grande que -1.
13.1. Relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs
Partant de la relation de définition (9.8), écrite pour le polynôme L:+~(X), on obtient :
LE+,(z) = exp(x)&$ [exp(-X)?+“+l]
expression qui peut s’écrire sous la forme :
(n + ~)L:+,(Z) = exp(z)$$$ [exp(-z)zn+“(n + Q : + 1 -z)]
ce qui nous donne :
(n + l)L:+,(z) = (n + o! + l)L;(z)
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