9. LE~ PoLwiôïms DE LAGUERRE
10. Calcul de l’erreur commise lors de l’approximation
Nous allons reprendre le calcul réalise lors de l’étude dc la méthode de Gauss-Legendre, seuls
quelques points de détail différent.
Soit à calculer :
CO
I = exp(-z)f(x) dz.
J’
0
Supposons que f(x) soit continûment différentiable sur l’intervalle fondamental (0, oo). Le
développement de Taylor-MacLaurin à l’ordre (2n + 1) nous donne :
f(x) = f(0) + ;f'(o) + fg"(O) + . . + ,2ny;,, f'""+"(o) +
x27L+2
(2n + 2)!
f(2n+2) (El >
expression dans laquelle x et < appartiennent à l’intervalle (0, oo).
Calculons 1 en remplaçant f(x) par son développement, il faudra utiliser des expressions du
type :
M
Q2n+2 =
s
exp( -x)x2n+2 dz = (2n + 2)!
0
L’exploitation directe de la formule d’intégration de Gauss-Laguerre donne :
J=S<~)CHI+~‘(O)CH~X~-~CH~X~+...+~~H~~~
k=O
k=O
k=O
k-0
+...+
p+l) (0) TL
c
2nt1
(2n + l)! k=OHkxk
l tf ,;;T);;/ c Hkxp+2.
L’erreur E s’écrit :
Si f(x) est un polynôme de degré (2n + l), la dérivée de f(x) d’ordre (2n + 2) est nulle, et l’on
a l’égalité :
I = J.
147