bfANUEL
DE CALCTJL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ
Nous obtenons :
Ink = [
exdx)dJ”’ d” {exp(-z)zn} g {exp(-z)z”} =
1 0
Le premier terme est nul car il contient n: exp( -ZC) en facteur ; cn poursuivant l’intégration par
parties. on arrive à l’expression suivante :
I,,k = &i >!
{exp(-z)z”} dn:
où E représente lc signe dc IT,k. Le calcul de cette intégrale donne :
I,, A ” = ET- L!
car ici encore on fait apparaître le terme 2; exp( -z) en facteur en fin de calcul, et ce terme est
nul pour z = 0 et :r infini. Donc les polynômes de Lagucrre sont orthogonaux par rapport à la
fonction poids exp(-z) sur l’intervalle fondamrntjal (0. CO).
À prescrit, il nous reste à calculer la norme de l’intégrale, c’est-a-dire I,,,,: car nous aurons
besoin de cette valeur pour le calcul des Hk.
Rkglons tout dc suite lc problème du signe : il est necessaircment posit,if puisque la forme est
definie positive (carré scalaire). Donc reste à calculer :
w
1,,, = n! J’
{exp(-z)z”} dz.
I l
En proccdant par partics, on voit que :
oc.
I’
{exp(-2)2?} dz = n!:
il
il s’ensuit que :
I,, = (n!)!
(9.4)
En conclusion. les polynômes de Laguerre sont orthogonaux relativement à la fonction poids
W(z) = exp(-z) et a l’intervalle (O,oo), nous en deduisons donc que les racines de chacun des
polynômes sont reellcs7 simples et comprises dans l’intervalle (0: CQ).
6. Calcul des racines des premiers polynômes de Laguerre
On calcule au moyen de la rnéthode de Bairstow les racines des polynômes dc Laguerre. Les
valeurs mrmériyues
du polynôme de degré 12 sont, donnees dans le tableau 9.3, page 149.
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