9. LES PoLmôMEs DE LAGUERRE
par récurrence) que nous avons bien affaire à des polynômes, car L~(Z) et Li (x) sont bien des
polynômes donc L,(s) est aussi un polynôme et ainsi de suite. Voici les premiers polynômes de
Laguerre :
L”(X) = 1
Ll(X) = -2 + 1
L2(x) =x2-4x+2
l&(x) = -si’ + 9x2 - 18x + 6
L4(2) = x4 - 16x” + 72x2 - 96x + 24
&(x) = -x5 + 25x4 - 2002” + 600x’ - 6002 + 120.
4. Calcul des coefficients des n premiers polynômes de Laguerre
Il n’est pas très difficile de réaliser un programme destiné à calculer tous les coefficients
des premiers polynômes de Laguerre. Ils seront entassés dans un tableau unique, par souci
d’économie, selon les puissances décroissantes.
On trouvera sur le Web(*) 1 e programme laguerre. c réalisant cette tâche.
5. Orthogonalité des polynômes de Laguerre
Les polynômes de Laguerre sont orthogonaux relativement à la fonction poids W(X) = exp(-x)
sur l’intervalle fondamental (0, w). Pour le montrer il suffit de calculer :
30
00
Ink =
J
exp(-z)L,(z)Lk(z) dz =
J ev-2) & {exp(-x)xnl $ {exp(-x)zk} dz.
0
0
Pour fixer les idées et sans nuire à la généralité, supposons que nous ayons n < k. Effectuons
une intégration par parties en posant :
u = exp(x)-& {exp(-x)xnl,
du = 1% exp(x)g { exp( -.r).r”-‘} ,
et
du= 2 {exp(-x)x”} ,
2, = s {exp(-x)x”} .
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
143