MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
On calcule directement le dernier terme du second membre à partir de la relation (9.1) :
L+~(X) = =P(:I:)= {nexp(-Ic)27L-1 ~ exp(-X)3?}.
soit encore,
-L(x> = -p(z) s {n exp( -2)znP1 - exp( -z)zc”} .
II vient donc :
L+1(z) = (n + l)Lx(z) - G(s) + G,(~) - n%-l(~)
De là nous tirons la relation utile pour déterminer les différents polynômes connaissant les deux
premiers :
L+~(Z) + (x ~ 2n - l)&(s) + 7?L-1(2) = 0.
(9.2)
2. Relation de récurrence faisant intervenir la dérivée
À présent, nous allons établir une autre relation très intéressante pour le calcul des coefficients
Hk. Il s’agit de pouvoir exprimer simplement la dérivée L~(Z). Cela nous sera bien utile
pour calculer les Hk de la formule de Gauss généralisée. Dans ce but, dérivons la relation de
définition (9.1), ce qui permet d’écrire :
L;(z) = n exp(z)$ { exp( -2)271P1} .
soit :
L;(z) = zzexp(z)s {exp(-z)z+l} .
Toujours A . l’aide de la relation de Leibnitz, transformons cette dernière expression :
x5 {exp(-z)z”-l}
= G {exp(-z)?} ~ ns {exp(-z)znP1}
On en déduit directement que :
L?&(x) = nL,(cLz) - nL,r,-1(2).
(9.3)
3. Les premiers polynômes de Laguerre
La relation de définition permet de calculer les deux premiers polynômes, soit :
La(x) = 1,
Ll(Z) = -z+ 1
La relation de récurrence (9.2) montre que le polynôme ,5,+1(z) a un degré supérieur de 1
unité à celui du polynôme de degré n. Cela démontre au passage (en utilisant un raisonnement
142