9 Les polynômes de Laguerre.
Méthode d’intégration
( de Gauss-Laguerre
Les polynômes de Lagucrre (1834-1886) sont orthogonaux relativement à la fonction poids
exp( -22) sur l’intervalle (0, w). Ou peut aborder l’étude de ces polynômes d’une façon tout, à
fait analogue à celle que nous avons adoptke pour les polynômes de Lcgcndre; ccpcndaut. nous
avons préféré utiliser une formule semblable à celle de Rodriguès pour établir plus rapidement
leurs principales propriétés.
Par définition, les polynômes de Lagucrre sont donnés par les expressions :
LTL(z) = exp(x)$ {eq-X)X”}.
(9.1)
1. Relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs
À partir de la relation de défiuit,ion. nous allous établir urle relation dc rkurrencc rutre trois
polynômes consécutifs, ce qui nous permct,tra par la suite de calculer facilemeut les coefficients
de l’un quelconque des polynômes de Laguerrc. Il suffît d’krire la relation dc d&litiou pour
l’indice (r> + 1). ce qui dorme :
Soit :
L,+l(z) = exp(x)s { - exp(-x)x”+l+ (n + 1) exp(-z)X”} .
Ou transforme cette dernike expression à l’aide de la formule de Leibnitz :
g {exp(-:X)?+l} = & {exp(-z)z”z}
= 2~5 {exp(-X)x”} + ,,s {exp(-X)2?}.
L’expression donnant L,,+I ( CC) devient :
Lfl(Lx) = (n + l)L,,(z) - nL(z) - ,cx,(+jg {exp( -X)C}
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