8. LES POLYNÔMES DE TCHEBYCHEFF
Bien entendu, comme toutes les fois en pareil cas, on recherche une majoration la plus raisonnable
possible de la fonction f(“‘“+“)(<) dans l’intervalle (-1, +l) ; en définitive, l’erreur s’exprime de
la manière suivante :
E(x) = (27y+;>!
i
(2n + l)!!
2n,+l(, + l ) !
1 n x”n+”
c 1
n+ 1 J ” “ O k ’
(8.10)
où M2nt2 = SUP If (2n+2)(x)1 pour 3: appartenant à (-1, +l).
Dans la mesure où l’on peut obtenir une majoration raisonnable M2n+l, E(z) donne l’erreur
mathématique liée à la troncature de la série des polynômes de Tchebycheff. Viendront s’ajouter
lors des calculs effectifs les inévitables erreurs d’arrondi propagées par l’exécution des opérations.
Toujours est-il que pour n = 12, on trouve :
E24 = 1,47 10-4”M24.
8. Fonctions génératrices des polynômes de Tchebycheff
Nous admettrons les résultats suivants sans démonstration :
1 - tx
1 - 2tx + t2
= TO(X) + Krl(X) + t2T2(x) + ‘. + fT,(x) + ‘.
et
exp(xt) cos(t&ZS) = Te(X) + +r,(X) + z??z(X) + . . . + iTn(X) + . .
9. Un exemple d’intégration
À titre d’exemple, calculons l’intégrale :
+1
Cet exemple n’est pas tout à fait gratuit ; en effet, la méthode d’intégration de Gauss-Tchebycheff
constitue la meilleure façon de calculer les fonctions de Bessel de première espèce. Nous
reviendrons sur ce point au cours de l’annexe F.
Pour l’instant, Je(l) est la valeur de la fonction de Bessel de première espèce d’ordre zéro
pour la valeur 1 de l’argument. Nous avons trouvé dans la littérature la valeur suivante :
JO( 1) = 0,765 197 686 557 966 4
avec une précision absolue de l’ordre de 10-15.
Le tableau 8.1, page suivante, donne les résultats obtenus.
Si l’on poursuit le calcul pour des valeurs plus élevées de n, seul le dernier chiffre significatif
change, soit le 16” chiffre... ce qui constitue un résultat remarquable.
139
Bien entendu, comme toutes les fois en pareil cas, on recherche une majoration la plus raisonnable
possible de la fonction f(“‘“+“)(<) dans l’intervalle (-1, +l) ; en définitive, l’erreur s’exprime de
la manière suivante :
E(x) = (27y+;>!
i
(2n + l)!!
2n,+l(, + l ) !
1 n x”n+”
c 1
n+ 1 J ” “ O k ’
(8.10)
où M2nt2 = SUP If (2n+2)(x)1 pour 3: appartenant à (-1, +l).
Dans la mesure où l’on peut obtenir une majoration raisonnable M2n+l, E(z) donne l’erreur
mathématique liée à la troncature de la série des polynômes de Tchebycheff. Viendront s’ajouter
lors des calculs effectifs les inévitables erreurs d’arrondi propagées par l’exécution des opérations.
Toujours est-il que pour n = 12, on trouve :
E24 = 1,47 10-4”M24.
8. Fonctions génératrices des polynômes de Tchebycheff
Nous admettrons les résultats suivants sans démonstration :
1 - tx
1 - 2tx + t2
= TO(X) + Krl(X) + t2T2(x) + ‘. + fT,(x) + ‘.
et
exp(xt) cos(t&ZS) = Te(X) + +r,(X) + z??z(X) + . . . + iTn(X) + . .
9. Un exemple d’intégration
À titre d’exemple, calculons l’intégrale :
+1
Cet exemple n’est pas tout à fait gratuit ; en effet, la méthode d’intégration de Gauss-Tchebycheff
constitue la meilleure façon de calculer les fonctions de Bessel de première espèce. Nous
reviendrons sur ce point au cours de l’annexe F.
Pour l’instant, Je(l) est la valeur de la fonction de Bessel de première espèce d’ordre zéro
pour la valeur 1 de l’argument. Nous avons trouvé dans la littérature la valeur suivante :
JO( 1) = 0,765 197 686 557 966 4
avec une précision absolue de l’ordre de 10-15.
Le tableau 8.1, page suivante, donne les résultats obtenus.
Si l’on poursuit le calcul pour des valeurs plus élevées de n, seul le dernier chiffre significatif
change, soit le 16” chiffre... ce qui constitue un résultat remarquable.
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