MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
On peut écrire :
7r
7 T
Qn = (n - 1)
s
COS’~-~ x(1 - cos2 x) dx = -(n - l)Q,+(,+ s
cosnP2 x dx
0
0
d’où la relation de récurrence :
7r
x
n&, = (n - l)Q+z avec &a = s
dz = ?r et Qr = cosx dz = 0.
s
0
0
De là, on tire que :
Q2n+1 = 0,
Q271 = (2n - ')!lT = (2n - 1)!!5i
(2n)!!
2”n!
Revenons au calcul de 1 :
I=l&[ .
f(0) + Ef'(O)
+ g"(o) +. . . + (2~~i,li(2TL+1)(o)
+
x2n+2
(2n+ 2)!
x S'2"+2'(E)]
=* [f(o) + ,., / y2y ";,,:'!!
+...+ f'""+"'(~)
(2n+
l)!!
]
.
(2n + 2)! 2n+l(n + l)!
L’exploitation directe de la formule d’intégration de Gauss-Tchebycheff donne :
J=
.
L’erreur E s’écrit :
Si f(x) est un polynôme de degré (2n + l), la dérivée de f(x) d’ordre (2n + 2) est nulle, et l’on
a l’égalité :
I = J.
Dans ce cas il n’y a pas d’erreur mathématique due à une approximation ; on obtient en
conséquence le système suivant :
138
i