8. LES POLYNÔMES DE T CHEBYCHEFF
rmus permet dc nous ramener au problème prtcédent car l’intégrale s’écrit :
+‘f
b+n
b-u
I= .I
y+p
2/1L/2
d7/.
-1
Par conskqucnt, on calcule 1 au moyen dc l’approximation :
où, rappelons-le, les zk sont, dans cette expression, les racines du polynôme de Tchebycheff de
dcgrk (n. + 1). Le lecteur pourra légitimcmcnt s’ktonner du fait que l’on utilise les polynômes de
de@ (n + 1) et non des polynômes de degré n, la raison en est simple, c’est pour rester cohérent
WCC les expressions établies au chapitre prkcédtnt.
7. Calcul de l’erreur commise lors de l’approximation
Nous dlons reprendre le calcul rkalisé lors de l’étude de la méthode de Gauss-Legendre, seuls
quelques
points de détails vont différer.
Soit, 5 calculer :
supposons
sur l’intervalle canonique (~ 1, +l). Le
développement de Taylor-MacLaurin à l’ordre (2n + 2) nous donne :
cxprcssion dans laquelle J: et < appartiennent à l’intervalle (-1, +l).
Calculons 1 en remplaçant f(z) par son développement, il faudra calculer des expressions du
type :
Pour cela. posons .î: = COS z, soit dz = - sin zdz ; on obtient alors :
7r
Qn = J’
COS~ x dz.
0
On intègre par parties ccttc expression en posant :
‘ U = Cos-1 x
et du = COS x dz
cc qui donne : du = ~ (n ~ 1) COS”-~ z sin z dz
et ru = siriz.
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rmus permet dc nous ramener au problème prtcédent car l’intégrale s’écrit :
+‘f
b+n
b-u
I= .I
y+p
2/1L/2
d7/.
-1
Par conskqucnt, on calcule 1 au moyen dc l’approximation :
où, rappelons-le, les zk sont, dans cette expression, les racines du polynôme de Tchebycheff de
dcgrk (n. + 1). Le lecteur pourra légitimcmcnt s’ktonner du fait que l’on utilise les polynômes de
de@ (n + 1) et non des polynômes de degré n, la raison en est simple, c’est pour rester cohérent
WCC les expressions établies au chapitre prkcédtnt.
7. Calcul de l’erreur commise lors de l’approximation
Nous dlons reprendre le calcul rkalisé lors de l’étude de la méthode de Gauss-Legendre, seuls
quelques
points de détails vont différer.
Soit, 5 calculer :
supposons
sur l’intervalle canonique (~ 1, +l). Le
développement de Taylor-MacLaurin à l’ordre (2n + 2) nous donne :
cxprcssion dans laquelle J: et < appartiennent à l’intervalle (-1, +l).
Calculons 1 en remplaçant f(z) par son développement, il faudra calculer des expressions du
type :
Pour cela. posons .î: = COS z, soit dz = - sin zdz ; on obtient alors :
7r
Qn = J’
COS~ x dz.
0
On intègre par parties ccttc expression en posant :
‘ U = Cos-1 x
et du = COS x dz
cc qui donne : du = ~ (n ~ 1) COS”-~ z sin z dz
et ru = siriz.
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