8. L ES POLYNÔMES DE T CHEBYCHEFF
2.2. Démonstration
Désignons par pn(z) un polynôme répondant à la question et considérons alors la fonction :
Puisque p,(z) et T, ( )
2 sont à coefficient principal réduit, f(z) est un polynôme au plus
de degré (n - 1). Par ailleurs, T, possède n extremums alternativement positifs et négatifs sur
l’intervalle (-1, +l), tous égaux en module à 1 et dont les abscisses sont données par la relation :
lwr
xk: =cos -
(
>
avec k = 0, 1,2, . . , (n ~ 1).
n
Quand T,(xk) est positif, f(zk) est négatif et quand T,(sk) est négatif, f(zk) est positif, il
s’ensuit que f(z) est alors un polynôme n fois positif et négatif alternativement sur l’intervalle
(-1, +l). Il change donc (n - 1) fois de signe et par conséquent possède n racines. Donc, f(z)
doit être un polynôme de degré n, ce qui est en contradiction avec le fait que f(z) est au plus
un polynôme de degré (n - 1). On en conclut que le polynôme f(z) est identiquement nul et
que p,,(z) = T,(z) ce qui démontre le théorème.
3. Les racines des polynômes de Tchebycheff Tn+i(x)
On sait que le polynôme de degré (n+l) possède (n+l) racines distinctes et réelles sur l’intervalle
(-1, +l). On les obtient en écrivant T,+i = 0, soit :
cos[(n + 1) arccosz] = 0,
ce qui donne :
Xk = COS
7r(2k + 1)
2(n + 1) ’
(8.6)
4. Calcul des poids Hk correspondant aux racines xk du polynôme T,+i(x)
Pour cela, il suffit d’exploiter directement la relation (B.5) de l’annexe B. D’abord, on calcule le
coefficient K qui est égal à In puisque nous traitons de polynômes à coefficient principal réduit.
Donc :
À présent il nous faut calculer Ti&+, (zk) et Tn+i(xk). On trouve les expressions suivantes :
T;+l(xk) = F ~ sin[(n + 1) arccos X~C]
>
d’où
TA+,c4 = g
Z(i,:’ 1) )
sin 2(n + 1)
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