MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
et
puis
7 T
s C O S nt COS mt dt = s
+lT~(x?Cz(x)
dx = o
Jn
si m + n
0
-1
et
+1T~C4Tn(x) dx
.I
s
2/1-2 -0
K coss nt dt = -
2
si n est différent de zéro
7r
sin=O.
On voit que les polynômes de Tchebycheff sont orthogonaux sur l’intervalle fondamental
(-1, +l) relativement à la fonction poids h qui est une fonction définie positive sur cet
intervalle.
1.2. Seconde définition
Cette suite de polynômes orthogonaux peut être avantageusement modifiée pour le propos qui
nous préoccupe. On peut définir la suite de telle sorte que le coefficient de degré le plus élevé
pour chaque polynôme soit égal à 1. Nous allons donc définir une suite polynômes à coefficient
principal réduit. Si nous examinons la relation (8.2)) nous nous apercevons que le coefficient de
degré le plus élevé est multiplié par 2 lorsque l’on passe du polynôme de degré k à celui de degré
(k + 1). Il nous suffit de poser comme relation de définition une nouvelle expression :
Tri(x) = & cos(n arccos z).
La relation de récurrence est alors légèrement modifiée et devient :
T,+l(x) - 4xT,(x) + 4T,-I(Z) = 0.
11 va de même de la norme qui s’exprime :
(8.3)
(8.4)
si n est différent de zéro
7l
si n=O.
(8.5)
2. Une propriété essentielle des polynômes de Tchebycheff à coefficient
principal réduit
2.1. Théorème
De tous les polynômes de degré n à coefficient principal réduit, c’est le polynôme de Tchebycheff
T, (x) qui approche le mieux l’axe des x sur l’intervalle (- 1, +1) au sens du sup du module.
134