8 Les polynômes de Tchebycheff.
Application à la méthode
de Gauss-Tchebycheff
1. Les polynômes de Tchebycheff (1821-1894)
1.1. Première définition
La relation de definition des polynômes de Tchebycheff est donnée par l’expression suivante :
T;(x) = cos(n arccosx)
(8.1)
ce qui implique que :
TO(x) = 1
et
TF(z) = 2.
Ils obéissent à une relation dc rccurrence que nous allons établir. Pour cela, il suffit de poser
y = arccos z, on obtient :
Tr; (x) = COS ny.
Écrivons T~~+,(x) et T:-,( x P P ec uons-en la somme :
) t ff t
T;+,(x) = cos(n + 1)y = COS ny cas y - sin rby sin y;
T,L-i(2) = cos(n - 1)y = cosnycosy + sinnysiny,
T,L+,(x) + T,T-,(x) = 2cosnycosy = 2xT;(x)
D’où la relation de récurrence cherchée entre trois polynômes
consécutifs :
TT;+,(x) - 22Tr;(z) + T7;p,(x) = 0.
(8.2)
À present nous allons montrer que ces polynômes sont orthogonaux. En partant de la relation :
s
COS nt COS mt dt = 7r/26,,
0
s 71171 étant le symbole de Kronecker (182331891), sauf pour n = m = 0 l’intégrale vaut 7r.
Effectuons le changement de variable t = arccos x, soit J: = COS t, ce‘ qui nous perrnet d’écrire :
dt = -sinx dz
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