MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
b - Méthode des trapèzes et méthode de Simpson - En 6 points la méthode de Gauss est
un peu plus précise que la méthode de Simpson en 100 points... tandis qu’il faut 40 points à
la méthode de Simpson pour obtenir une précision analogue à celle de la methode de Gauss en
5 points.
Méthode des trapèzes
0,250 248
0,250 062
0,250 027
0,250 009 9
Tableau 7.2.
Méthode de Simpson
0,250 000 086
0,250 000 005 4
0,250 000 00107
0,250 000 000 138
Nbre de points
20
40
60
100
c - Calcul de l’erreur concernant l’exemple - Par chance, le calcul de la dérivée ne de
.r log( 1 + z) est relativement aisé, et l’on peut montrer que :
[zlog(l + ~)]‘“’ = (-l)TL(n ;12;r,! n,
Effectuons le calcul d’erreur pour 6 points :
E= $
;-&&z;
= 7,38110-‘$.
Ici; Mi2 =
10!(2 + 12)
h=O
2i2( 1 + ,y
car nous avons dû effectuer un changement de variable 2 =
1
1
2 + Zt pour nous ramener à
12
l’intervalle canonique (-1, +l). Alors nous pouvons écrire : dz/ dt = 1/2 et
i
>
g
= A.
b-u
1
Rappelons que, avec l’écriture choisie, 2 appartient toujours à (0, l), et que 2 = 2.
Mi2 est une fonction monotone décroissante dans l’intervalle (0, l), elle est maximum pour
z = 0. Donc
b-u
12!
TMi, est plus petit ou égal à 11 x 2 x 2ia.
On tire une valeur de E :
E = 7,381 10p4 - 0,8 1oP.
11 x 8192 -
On s’aperçoit que l’erreur E est environ 100 fois plus grande que l’erreur observée directement ;
cela est dû à la majoration de la fonction Mi2. En I I : = 0; la dérivée est 3780 fois plus petite
qu’au point x = 1. On en conclut que l’erreur est comprise entre 2 10-12 et 0,8 10-s. L’évaluation
directe de l’erreur se situe bien dans ce créneau puisqu’elle est de l’ordre de 10-r’ et cet exemple
montre bien combien la majoration d’une dérivée d’ordre n peut être pénalisante pour un calcul
d’erreur.
Remarque : Pour utiliser aisément la méthode de Gauss, il suffit de fabriquer un sousprograrnme dans lequel on rentre une fois pour toutes les racines et les poids du polynôme
130