7. LESPOLYNÔMESDE LEGENDRE
Dans la mesure où l’on peut obtenir une majoration Mzn+2, E donne l’erreur mathématique
liée à la troncature de la série des polynômes de Legendre. Viendront s’ajouter lors des calculs
effectifs les inévitables erreurs d’arrondi propagées par l’exécution des opérations.
Bien qu’elle soit très intéressante, cette expression n’est pas d’un emploi très commode dans
la mesure où figure une dérivée d’ordre (2n. + 2). Le calcul devient très souvent arborescent et
rapidement inextricable, quand à la majoration, elle risque de devenir catastrophique dans la
mesure où elle est très surestimée.
Table des valeurs numériques de 77 = {
& - z’& H~x:~‘~ >
- Les valeurs du tableau 7.1,
sont directement tirées du du fichier Legendre.txt sur le Web (*) où figurent les racines et les
poids associés des premiers polynômes de Legendre.
Tableau 7.1.
Degré
Erreur
du polynôme
mathématique
2
0,177 778
3
0,457 143 10-l
4
0,116 100 10-r
5
0,293 181 10F2
6
0,738 079 1OV”
7
0,185 466 lO-”
8
0,465 483 10-4
9
0,116 731 lO-”
10
0,292 559 10-”
11
0,732 912 10-”
12
0,183 0547 10-”
13
0,459 546 10C7
2.7. Un exemple numérique, comparaison avec d’autres méthodes
Nous avons choisi un exemple dont on connaît directement le résultat par quadratures :
+1
rlog(l+2)ds+
0
Voici les résultats obtenus par la méthode de Gauss, la méthode des trapèzes et la méthode
de Simpson.
a - Méthode de Gaoss
5 points :
I = 0,249 999 996
6 points :
I = 0,249 999 999 909