7. LES Pow.vôms DE LEGENDRE
Cette formule est d’un emploi plus intéressant que la relation (7.17) non seulement sur le plan
de la programmation mais aussi sur le plan du temps de calcul.
Il n’y a pas de difficulté particulière pour obtenir ces valeurs numériques dans la mesure où
les coefficients des polynômes ainsi que les racines ont été convenablement placés dans un ou
des fichiers.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme r-legend. c calculant les Hk.
2.5. Retour sur le calcul de l’intégrale définie sur (a, b)
Nous avons montré que le changement de variable :
b+a
b-u
y=T+-x 2
nous ramène à l’intervalle (- 1, +l) Par conséquent ~ il suffit alors dc calculer :
b+a+b-n
Yk = ~
2
-Xk.
2
Les HI, n’étant pas modifiés, on peut écrire les deux relations :
1= q 2 H#(yk) = c Hd(a)
k=O
k=O
Le cas des intégrales continues par morceaux ~ c’est-à-dire présentant des discontinuités de
première espèce ~ est justiciable de la méthode de Gauss : on calcule autant d’intégrales qu’il
y a d’intervalles sur lesquels la fonction est continue, et chacune des intégrales se ramène au cas
qui vient d’être présenté.
2.6. Calcul de l’erreur commise lors de l’approximation
Supposons que f(x) soit une fonction continûment différentiablc sur l’intervalle fini (canonique)
(- 1, + 1). Le développement de Taylor-MacLaurin à l’ordre (2n + 1) nous donne :
f(x) = f(0) + $(O) + $(O>
+ . . + (2;2;;)j f’““+“(o)
+
,p+2
(2n + 2)!
p+2)(<)
expression dans laquelle J: et < appartiennent à l’intervalle (-1, +l).
Intégrons terme à terme cette expression, on obtient :
+1
I =
s
f(x) dz = 2 f(0) + ;f”(O) + . + (2m; ,),f”“(O) +‘.‘+ (2&!
-1
On remarque que toutes les dérivecs d’ordre impair disparaissent lors de l’intégration.
L’exploitation directe dc la relation (7.11) donne :
J-f(0)~H~+T~H~x*+
f’(O) n
f”(0) 7 ’
2! c H~Z:.
k=O
k=O
k=O
+...+
f(24 (0) n
. c Hkxp +
.
.
.
+
;;;+)j;/ $ Hkxp+l + f’2”+“‘(E) 2 I&X~+~.
m!
k:=O
k-0
(212
+ 2)! k=”
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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Cette formule est d’un emploi plus intéressant que la relation (7.17) non seulement sur le plan
de la programmation mais aussi sur le plan du temps de calcul.
Il n’y a pas de difficulté particulière pour obtenir ces valeurs numériques dans la mesure où
les coefficients des polynômes ainsi que les racines ont été convenablement placés dans un ou
des fichiers.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme r-legend. c calculant les Hk.
2.5. Retour sur le calcul de l’intégrale définie sur (a, b)
Nous avons montré que le changement de variable :
b+a
b-u
y=T+-x 2
nous ramène à l’intervalle (- 1, +l) Par conséquent ~ il suffit alors dc calculer :
b+a+b-n
Yk = ~
2
-Xk.
2
Les HI, n’étant pas modifiés, on peut écrire les deux relations :
1= q 2 H#(yk) = c Hd(a)
k=O
k=O
Le cas des intégrales continues par morceaux ~ c’est-à-dire présentant des discontinuités de
première espèce ~ est justiciable de la méthode de Gauss : on calcule autant d’intégrales qu’il
y a d’intervalles sur lesquels la fonction est continue, et chacune des intégrales se ramène au cas
qui vient d’être présenté.
2.6. Calcul de l’erreur commise lors de l’approximation
Supposons que f(x) soit une fonction continûment différentiablc sur l’intervalle fini (canonique)
(- 1, + 1). Le développement de Taylor-MacLaurin à l’ordre (2n + 1) nous donne :
f(x) = f(0) + $(O) + $(O>
+ . . + (2;2;;)j f’““+“(o)
+
,p+2
(2n + 2)!
p+2)(<)
expression dans laquelle J: et < appartiennent à l’intervalle (-1, +l).
Intégrons terme à terme cette expression, on obtient :
+1
I =
s
f(x) dz = 2 f(0) + ;f”(O) + . + (2m; ,),f”“(O) +‘.‘+ (2&!
-1
On remarque que toutes les dérivecs d’ordre impair disparaissent lors de l’intégration.
L’exploitation directe dc la relation (7.11) donne :
J-f(0)~H~+T~H~x*+
f’(O) n
f”(0) 7 ’
2! c H~Z:.
k=O
k=O
k=O
+...+
f(24 (0) n
. c Hkxp +
.
.
.
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m!
k:=O
k-0
(212
+ 2)! k=”
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