MANUEL DE CALCUL N UM É RI QUE APPLIQUÉ
Évaluons le premier terme :
Comme P,+i(s) admet un développement du genre :
P,+1(x) = u”,n+lxn+l + qn+llCn + . . + arr+1.n+1
et comme d’autre part xk: est une racine du polynôme, on peut écrire :
Pn+l(X) = (x - xk)(h~,ll+lxn
+ h.n+lx
n-1 + . . . + h7,,+1),
par identification, on note que :
ao.,<,+ = h.n+l.
En tenant compte des relations d’orthogonalité, T s’exprime alors de la façon suivante :
+1
T= J’
ao
n+l
2
uO,n+lxnl?&)
dz
= An~.~ 2n + 1
-1
En revenant à l’expression (7.16), on peut alors écrire :
+1
.I’
-1
en remplaqant dans l’expression (7.14), on obtient :
1
1
ao,,+
2
~20,~ 2n + 1
La relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs permet d’obtenir directement
~,~+~/a~,~~ en identifiant les termes de degré (n + 1) ; on obtient la valeur (2n + l)/(n + 1). En
définitive, Hk prend mie forme très simple :
Hk =
1
1
2
P;+l(xk) P,,(Q) n + 1
(7.17)
Il existe une autre forme de HI, très utile à connaître parce que très facile d’emploi. Éliminons
Cl( 1 t , 1
x en re es relations de récurrence (7.13) et (7.14) ; on obtient :
(1 -~“)I?n(x) ~ nP+,(x) -~XE&(X) = 0.
R,emplaçons n par (n + 1) et x par xk: dans cette expression, nous obtenons :
(1 ~ x,~)pL,+~(xk) = (n + lR(xk).
Il suffit de reporter la valeur de (n + l)P,(zk) d ans la relation (7.17) pour écrire :
(7.18)
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