7. L ES PoLmôMEs DE LEGENDRE
Le second membre a toutes ses sommes nulles sauf une seule lorsque j = k. Nous obtenons :
+1
L = s
Qnk(x) dx = ao,n+lHlc fi@, ~ xi) = HkQnk(a),
-1
ifk
i=o
expression à partir de laquelle on tire :
+1
Hk = Qnk;xk)el Q,uk(x) dz.
s
Une expression de Qnk(xk) plus commode à exploiter est souhaitable, et pour cela calculons la
dérivée de P,+i(s) ; nous avons :
et pour x = xk nous obtenons :
p;+dxk) = aO,n+l fibc - xi) = &nk(xrc).
i=o
ijk
L’expression (7.13) se transforme alors en une expression ne faisant intervenir que le polynôme
de Legendre de degré (n + 1) ainsi que son polynôme dérivé :
L = HkP;+l(xk) =
~
-1
Cette dernière expression permet en principe de calculer les coefficients Hh qui ne dépendent
que des polynômes de Legendre et de leurs zéros. Insistons sur le fait qu’ils ne dépendent pas de
la fonction dont on cherche à calculer l’intégrale de façon approchée. On obtient en définitive :
Hk =
1
~A+1(4
~
.
-1
(7.14)
Nous allons procéder à la transformation de l’expression (7.14) qui n’est pas encore d’un
emploi très commode. Pour ce faire, considérons l’expression suivante :
+1
s
P,+~(~) pn(x) - pn(xk) dz
x - xk
-1
On voit immédiatement que (x - xk) est une racine de p,(x) - P, (xk) et que par conséquent
[p,(x)-P7L(xk)]/(x-xIc)
est un polynôme de degré (n-l). E n vertu de la relation d’orthogonalité
et du théorème de décomposition, l’intégrale (7.15) es nulle. Développons cette expression :
t
dz - P,(xk) J’
+lP,+l(x) dz.
~
x - xk
-1
(7.16)
125
Le second membre a toutes ses sommes nulles sauf une seule lorsque j = k. Nous obtenons :
+1
L = s
Qnk(x) dx = ao,n+lHlc fi@, ~ xi) = HkQnk(a),
-1
ifk
i=o
expression à partir de laquelle on tire :
+1
Hk = Qnk;xk)el Q,uk(x) dz.
s
Une expression de Qnk(xk) plus commode à exploiter est souhaitable, et pour cela calculons la
dérivée de P,+i(s) ; nous avons :
et pour x = xk nous obtenons :
p;+dxk) = aO,n+l fibc - xi) = &nk(xrc).
i=o
ijk
L’expression (7.13) se transforme alors en une expression ne faisant intervenir que le polynôme
de Legendre de degré (n + 1) ainsi que son polynôme dérivé :
L = HkP;+l(xk) =
~
-1
Cette dernière expression permet en principe de calculer les coefficients Hh qui ne dépendent
que des polynômes de Legendre et de leurs zéros. Insistons sur le fait qu’ils ne dépendent pas de
la fonction dont on cherche à calculer l’intégrale de façon approchée. On obtient en définitive :
Hk =
1
~A+1(4
~
.
-1
(7.14)
Nous allons procéder à la transformation de l’expression (7.14) qui n’est pas encore d’un
emploi très commode. Pour ce faire, considérons l’expression suivante :
+1
s
P,+~(~) pn(x) - pn(xk) dz
x - xk
-1
On voit immédiatement que (x - xk) est une racine de p,(x) - P, (xk) et que par conséquent
[p,(x)-P7L(xk)]/(x-xIc)
est un polynôme de degré (n-l). E n vertu de la relation d’orthogonalité
et du théorème de décomposition, l’intégrale (7.15) es nulle. Développons cette expression :
t
dz - P,(xk) J’
+lP,+l(x) dz.
~
x - xk
-1
(7.16)
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