MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
En introduisant la relation (7. Il), nous obtenons l’expression suivante :
Comme cette relation doit être vérifiée quel que soit le polynôme Qn(z), de degré éga,l ou
infcrieur à n, et comme par ailleurs les Hk. ne peuvent être nuls sinon lc nombre des abscisses
zk s’abaisserait, on en conclut neccssairement que Pn+i(zj) est nul. Il s’ensuit que les xk sont
les (n + 1) racines du polynôme de Legendre de degré (n + 1). À ce propos, nous savons que
toutes les racines dc P,+l (zr) sont réelles, distinctes et comprises dans l’intervalle (-1, +l).
Remarque 1 : Avant dc poursuivre plus avant les calculs, d’ores et déjà, il est possible de voir
que la précision de la méthode de Gauss sera d’autant plus grande que le polynôme Qn(z) qui
approche la fonction f(x) sera de degré plus élevé.
Remarque 2 : Puisque t,outes les racines de tous les polynômes de Legendrc appartiennent à
l’intervalle (-1, +l), la rnéthode de Bairstow va se réveler particulièrement pratique et efficace
pour obtenir les valeurs numériques des racines.
Remarque 9 : Il est important de constater que les valeurs x1, ne dépendent pas de la fonction
à intégrer et sont donc des constantes universelles, elles pourront être rentrées une fois pour
toute dans un calculateur.
2.3. Calcul numérique des racines xk des premiers polynômes
À l’aide de la méthode de Bairstow, nous allons calculer les racines des k premiers polynômes de
Legendre. Comme ces valeurs sont universelles, il est bon de les obtenir avec une bonne précision,
ne serait-ce que pour les employer lors de calculs réalisés sur les petites machines portatives.
Bien entendu: si l’on dispose d’une possibilité d’effectuer les calculs en double précision, il est
recommandé de l’utiliser. On a reporté sur le tableau 7.3, page 131, les valeurs numériques des
racines du polynôme de degré 13. Cette limitation est due au fait que seulement 16 chiffres
significatifs ont éte utilisés et qu’il en faut davantage pour calculer les racines des polynômes de
degré supericur à 13.
2.4. Calcul des coefficients Hk
Puisque le polynôme dc Legendre P,+l (z) ne possède que des racines réelles et simples, nous
pouvons l’exprimer en fonction directe d’un produit de monômes :
P,+1(2) = UO,n+l fi(X - Xj)
j==O
UO,~~+~ étant le coeflicient du terme de degré le plus élevé dans le développement de P,+r(z). À
présent considerons le polynôme QTL~(z) de degré n, ainsi défini :
Puisque l’expression (7.11) doit donner une valeur exacte de l’intégrale de QTLk (z), nous pouvons
écrire :
(7.13)
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
En introduisant la relation (7. Il), nous obtenons l’expression suivante :
Comme cette relation doit être vérifiée quel que soit le polynôme Qn(z), de degré éga,l ou
infcrieur à n, et comme par ailleurs les Hk. ne peuvent être nuls sinon lc nombre des abscisses
zk s’abaisserait, on en conclut neccssairement que Pn+i(zj) est nul. Il s’ensuit que les xk sont
les (n + 1) racines du polynôme de Legendre de degré (n + 1). À ce propos, nous savons que
toutes les racines dc P,+l (zr) sont réelles, distinctes et comprises dans l’intervalle (-1, +l).
Remarque 1 : Avant dc poursuivre plus avant les calculs, d’ores et déjà, il est possible de voir
que la précision de la méthode de Gauss sera d’autant plus grande que le polynôme Qn(z) qui
approche la fonction f(x) sera de degré plus élevé.
Remarque 2 : Puisque t,outes les racines de tous les polynômes de Legendrc appartiennent à
l’intervalle (-1, +l), la rnéthode de Bairstow va se réveler particulièrement pratique et efficace
pour obtenir les valeurs numériques des racines.
Remarque 9 : Il est important de constater que les valeurs x1, ne dépendent pas de la fonction
à intégrer et sont donc des constantes universelles, elles pourront être rentrées une fois pour
toute dans un calculateur.
2.3. Calcul numérique des racines xk des premiers polynômes
À l’aide de la méthode de Bairstow, nous allons calculer les racines des k premiers polynômes de
Legendre. Comme ces valeurs sont universelles, il est bon de les obtenir avec une bonne précision,
ne serait-ce que pour les employer lors de calculs réalisés sur les petites machines portatives.
Bien entendu: si l’on dispose d’une possibilité d’effectuer les calculs en double précision, il est
recommandé de l’utiliser. On a reporté sur le tableau 7.3, page 131, les valeurs numériques des
racines du polynôme de degré 13. Cette limitation est due au fait que seulement 16 chiffres
significatifs ont éte utilisés et qu’il en faut davantage pour calculer les racines des polynômes de
degré supericur à 13.
2.4. Calcul des coefficients Hk
Puisque le polynôme dc Legendre P,+l (z) ne possède que des racines réelles et simples, nous
pouvons l’exprimer en fonction directe d’un produit de monômes :
P,+1(2) = UO,n+l fi(X - Xj)
j==O
UO,~~+~ étant le coeflicient du terme de degré le plus élevé dans le développement de P,+r(z). À
présent considerons le polynôme QTL~(z) de degré n, ainsi défini :
Puisque l’expression (7.11) doit donner une valeur exacte de l’intégrale de QTLk (z), nous pouvons
écrire :
(7.13)
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