7. LES PoLmôMEs DE LEGENDRE
ramène le domaine d’intégration à l’intervalle fondamental (-1, +l), ce qui donne :
I=],.(,,d~=~~(z)dz.
a
-1
La méthode de Gauss pour évaluer numériquement l’intégrale 1 consiste à :
a. adopter pour valeur approchée de 1 l’expression suivante :
(7.10)
(7.11)
b. choisir un critère pour déterminer les zk et les Hk.
L’examen de la formule (7.11) montre qu’il y a (n + 1) valeurs zk: à déterminer ainsi que
les (n + 1) valeurs Hk qui leur correspondent. Pour obtenir ces valeurs, on retient comme
critère l’égalité rigoureuse des expressions (7.10) et (7.11) dans le cas particulier où f(z) est un
polynôme, et on fera en sorte que le degré du polynôme soit le plus élevé possible pour n fixé
arbitrairement (n figure dans la relation (7.11)). C omme il y a 2(72 + 1) coefficients arbitraires,
le polynôme sera au plus de degré (2n + 1).
Dans le cas général où f(z) n’est pas un polynôme, on peut espérer une bonne approximation
en vertu du théorème de Weierstrass selon lequel toute fonction continue sur un compact (a, b)
peut être approchée uniformément par un polynôme. Bien sûr, le théorème de Weierstrass
est très postérieur à la méthode de Gauss un petit siècle les sépare ~ néanmoins on peut
remarquer que, dans le cas où f(z) est continue et possède des dérivées successives continues
sur le compact (a, b), le développement en série de Taylor montre que f(z) peut se développer
selon un polynôrne de degré n, à une approximation près qui est donnée par le reste de la formule
de Lagrange. Quoi qu’il en soit, un calcul d’erreur fondé sur cette remarque viendra apporter
tous les éclaircissements utiles.
On trouvera à la page 46 de l’ouvrage de Crouzeix et Mignot cité en bibliographie la
démonstration de l’unicité d’une telle formule d’approximation qui vaut pour toutes les méthodes
de Gauss que l’on va rencontrer par la suite.
2.2. Calcul des abscisses xk
Supposons que f(z) soit un polynôme Qn (z) de degré n. Ce polynôme peut torrjours s’exprimer
au moyen d’une combinaison linéaire unique de polynômes de Legendre de degré égal et inférieur
à n. Soit :
n
expression dans laquelle PJ (x) est le polynôme de Legendre de degré j et Aj le coefficient
numérique de la décomposition. En vertu des relations d’orthogonalité, nous pouvons écrire :
+1
M =
s Qn, ( x) Pn+l ( x) dx = J!Pn+l(x) 2 AjPj(x) dz = 2 A, /:i:,+r (X)I”(x) dz = 0.
-1
-1
j=o
j=o
-1
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ramène le domaine d’intégration à l’intervalle fondamental (-1, +l), ce qui donne :
I=],.(,,d~=~~(z)dz.
a
-1
La méthode de Gauss pour évaluer numériquement l’intégrale 1 consiste à :
a. adopter pour valeur approchée de 1 l’expression suivante :
(7.10)
(7.11)
b. choisir un critère pour déterminer les zk et les Hk.
L’examen de la formule (7.11) montre qu’il y a (n + 1) valeurs zk: à déterminer ainsi que
les (n + 1) valeurs Hk qui leur correspondent. Pour obtenir ces valeurs, on retient comme
critère l’égalité rigoureuse des expressions (7.10) et (7.11) dans le cas particulier où f(z) est un
polynôme, et on fera en sorte que le degré du polynôme soit le plus élevé possible pour n fixé
arbitrairement (n figure dans la relation (7.11)). C omme il y a 2(72 + 1) coefficients arbitraires,
le polynôme sera au plus de degré (2n + 1).
Dans le cas général où f(z) n’est pas un polynôme, on peut espérer une bonne approximation
en vertu du théorème de Weierstrass selon lequel toute fonction continue sur un compact (a, b)
peut être approchée uniformément par un polynôme. Bien sûr, le théorème de Weierstrass
est très postérieur à la méthode de Gauss un petit siècle les sépare ~ néanmoins on peut
remarquer que, dans le cas où f(z) est continue et possède des dérivées successives continues
sur le compact (a, b), le développement en série de Taylor montre que f(z) peut se développer
selon un polynôrne de degré n, à une approximation près qui est donnée par le reste de la formule
de Lagrange. Quoi qu’il en soit, un calcul d’erreur fondé sur cette remarque viendra apporter
tous les éclaircissements utiles.
On trouvera à la page 46 de l’ouvrage de Crouzeix et Mignot cité en bibliographie la
démonstration de l’unicité d’une telle formule d’approximation qui vaut pour toutes les méthodes
de Gauss que l’on va rencontrer par la suite.
2.2. Calcul des abscisses xk
Supposons que f(z) soit un polynôme Qn (z) de degré n. Ce polynôme peut torrjours s’exprimer
au moyen d’une combinaison linéaire unique de polynômes de Legendre de degré égal et inférieur
à n. Soit :
n
expression dans laquelle PJ (x) est le polynôme de Legendre de degré j et Aj le coefficient
numérique de la décomposition. En vertu des relations d’orthogonalité, nous pouvons écrire :
+1
M =
s Qn, ( x) Pn+l ( x) dx = J!Pn+l(x) 2 AjPj(x) dz = 2 A, /:i:,+r (X)I”(x) dz = 0.
-1
-1
j=o
j=o
-1
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