7. LES POLYNÔMES DE LEGENDRE
En multipliant chacun des membres par &(x) puis en integrant sur l’intervalle (-1, fl), on
obtient :
+1
s
+l cc
f(x)Pk(x) dz = s
c aTLPIL(x)Pk(x)
dz.
-1
p1 7z=o
Soit encore :
+1
/ ~(X&.(X) dx = c a, ri:, (x)%(x) dz,
-1
n=O
p1
et compte tenu des relations d’orthogonalité :
+1
f(x)&(x) dz = ak s
Pk(x)Pk(x) dz = CL~&,
-1
ce qui donne :
+1
2k + 1
Uk =
2
J’
f(x)&(x) dz.
En toute rigueur, il faudrait justifier l’égalité entre f(x) et son développement selon une étude
analogue à celle effectuée à propos des séries de Fourier : il faudrait associer la série à la fonction
f(x) et déterminer à quelles conditions l’égalité peut être obtenue.
1.13. Décomposition d’un polynôme quelconque en polynômes de Legendre
Considérons un polynôme quelconque dc dcgri: n :
QyL(x) = ~u,:xnmk
avec ao # 0.
k=O
que l’on se propose de décomposer sur la base des polynômes orthogonaux de Legendre l’,(x)
que l’on écrit :
Le principe de la décomposition est tres simple, il suffit de remarquer que lc polynôme
est un polynôme de degré n ~ 1, dkignons-le par II+~(X). Ses coefficients sont donnés par :