MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
1.10. Une propriété importante des polynômes de Legendre
Par definition, on dit qu’un polynôme de degré n est à coefficient principal réduit lorsque le
coefficient du terme de degri: n est égal à l’unité. Cette notion sert essentiellement à comparer
les polynômes de degré 71 entre eux, sinon ils seraient dcfinis à une constante multiplicative près
qui ne permettrait plus de comparaison.
Théorème - Parmi tous les polynômes de degré rl à coefficient principal réduit, celui dont la
norme, évaluée sur l’intervalle (-1, fl), est la plus petite est le polynôme de Legendre, la norme
envisagée étant ccllc du produit scalaire (la fonction poids ctant égale à l’unité).
Désignons par G,,(s) un polynôme répondant à la question et décomposons-le selon une
combinaison linéaire de polynômes de Legendre, opération torijours possible. On note par un
astérisque les polynômes de Legcndre à coefficient principal réduit et l’on écrit par conséquent :
Gn(x) = P;(x) + &P;ek(x).
k=l
où les c~k sont des coefficients constants. La norme de G,(z) s’écrit :
N[G,(x)] = Il[,,: + $wcP;~k(x)]2 dn:
-1
!+=l
Soit encore :
Ce second membre est minimum lorsque tous les o5k sont égaux à zéro. Il s’ensuit que N[G,, (z)]
est minimum quand G,,(X) = PG (x) , ce qui démontre le théorème.
1.11. Fonction génératrice des polynômes de Legendre
Nous admettrons le résultat suivant sans démonstration :
1
2/1- 2hx + h2
= ~O(Z) + hPl(x) + h2P2(z) + . . + hTLP,<,(x) + .
ainsi que cette autre expression :
1.12. Décomposition d’une fonction f(x) en série de polynômes de Legendre
On considère une fonction f(x) continue sur l’intervalle (-1, +l) ou éventuellement ayant des
points dc discontinuiti: dc première espèce CII quantité dénombrable. D’une façon tout à fait
analogue a l’analyse de Fourier, on se propose dc rechercher un dcvcloppernent de f(x) sous
forme d’une combinaison linéaire de polynômes de Legendre :
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
1.10. Une propriété importante des polynômes de Legendre
Par definition, on dit qu’un polynôme de degré n est à coefficient principal réduit lorsque le
coefficient du terme de degri: n est égal à l’unité. Cette notion sert essentiellement à comparer
les polynômes de degré 71 entre eux, sinon ils seraient dcfinis à une constante multiplicative près
qui ne permettrait plus de comparaison.
Théorème - Parmi tous les polynômes de degré rl à coefficient principal réduit, celui dont la
norme, évaluée sur l’intervalle (-1, fl), est la plus petite est le polynôme de Legendre, la norme
envisagée étant ccllc du produit scalaire (la fonction poids ctant égale à l’unité).
Désignons par G,,(s) un polynôme répondant à la question et décomposons-le selon une
combinaison linéaire de polynômes de Legendre, opération torijours possible. On note par un
astérisque les polynômes de Legcndre à coefficient principal réduit et l’on écrit par conséquent :
Gn(x) = P;(x) + &P;ek(x).
k=l
où les c~k sont des coefficients constants. La norme de G,(z) s’écrit :
N[G,(x)] = Il[,,: + $wcP;~k(x)]2 dn:
-1
!+=l
Soit encore :
Ce second membre est minimum lorsque tous les o5k sont égaux à zéro. Il s’ensuit que N[G,, (z)]
est minimum quand G,,(X) = PG (x) , ce qui démontre le théorème.
1.11. Fonction génératrice des polynômes de Legendre
Nous admettrons le résultat suivant sans démonstration :
1
2/1- 2hx + h2
= ~O(Z) + hPl(x) + h2P2(z) + . . + hTLP,<,(x) + .
ainsi que cette autre expression :
1.12. Décomposition d’une fonction f(x) en série de polynômes de Legendre
On considère une fonction f(x) continue sur l’intervalle (-1, +l) ou éventuellement ayant des
points dc discontinuiti: dc première espèce CII quantité dénombrable. D’une façon tout à fait
analogue a l’analyse de Fourier, on se propose dc rechercher un dcvcloppernent de f(x) sous
forme d’une combinaison linéaire de polynômes de Legendre :