7. LES POLYNÔMES DE LEGENDRE
Le problème du signe E que nous avons délibérément abandonné se trouve résolu en remarquant
que ( CC” ~ l)n est une fonction qui a le signe de (-1)” sur l’intervalle (-1, +l) ainsi L s’écrit :
L = (-1)"
2.4.6...2n
1 .3. 5.. . (2n + 1)
2.
Ensuite, nous pouvons écrire :
J = (2n)! 1
yÏ2’“-11.3.5
. .t (2n + 1) = (2n+ 1) .
En définitive, on obtient le résultat suivant :
+ 1
s c%- 4 dz = ( 2n+ 1 )
-1
(7.8)
1.7. Les premiers polynômes de Legendre
P”(X) = 1
PI(X) = 5
P2(x) = (322 - 1)/2
PS(z) = (52” - 3x)/2
P4(2) = (35x4 - 30x2 + 3)/8
PS(z) = (63~” - 702” + 15x)/8
P6(z) = (231x6 - 315x4 + 105x2 - 5)/16
&(Cc) = (42927 - 693x” + 3152” ~ 35x)/16.
1.8. Calcul des coefficients des polynômes de Legendre
À l’aide de la relation de récurrence (7.4), de Pc(x) et de Pi(x), on peut calculer les coefficients
selon les puissances croissantes ou décroissantes de la variable 2 des k premiers polynômes de
Legendre. Dans le cas où l’on utilise un calculateur arithmétique, pour des raisons d’économie
de place mémoire, on entasse tous les coefficients des polynômes les uns à la suite des autres
dans un tableau unique à une seule dimension.
On trouvera sur le Web(*) 1 e programme legendre. c permettant de calculer ces coefficients.
1.9. Variantes concernant les polynômes de Legendre
Il n’est pas bien difficile de reprendre cette étude en changeant l’intervalle fondamental (-1, +l)
qui est remplacé par l’intervalle fini (a, b). Rien d’essentiel n’est changé pourvu que a et b restent
finis. Il est courant de définir d’autres polynômes de Legendre sur l’intervalle (0, l), et ils sont
appelés parfois polynômes de Legendre modifiés. On les rencontre lors de problèmes de lissage
sur l’intervalle de définition (0,l). On en trouve une application intéressante lors du calcul de
diagrammes de phase.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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