M ANUEL DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUE
puis intégrons par parties ce qui donne :
Le premier terme à l’intérieur du crochet est nul puisque -1 et fl sont racines, et dc proche en
proche on obtient :
J = K2(-1)” +;J:’ - 1)“s jr” - 1)” dz.
.i’
-1
Comme (x2 - 1)” est un polynôme de degré 2n (à coefficient principal réduit) que l’on dérive
2n fois, le résultat est une constante qui vaut (2n)!. Alors, J prend l’expression suivante :
+1
J = (-l)nK2(2n)!
s
(x2 ~ 1)” dz.
-1
Il n’est pas très difficile de calculer cette dernière intégrale, pour cela on pose :
+1
L = J’
(x2 - 1)” dz,
-1
expression que l’on intègre par parties. Il suffit d’écrire :
u = (2 - l),, et donc du = 2x dxn(x2 ~ l)n-l:
ainsi que du = dx et v = x ; on obtient alors :
+1
L = [~(CC’ ~ l)‘“]:: - 2n
J’
z”(z” - l)nP1 dz.
-1
La première quantité (toute intégrée) a une valeur nulle. Une autre intégration par parties
permet d’écrire :
+1
L = tn(n - 1)2 s
X”(X” - 1)+2 dz.
-1
On poursuit ainsi de suite les calculs et, en notant par E le signe que l’on déterminera plus tard,
on arrive à l’expression :
+1
L = c2ni2(n - 1);2(n - 2). . &2(1) 1 x2np2(z2 - l)l dz,
-1
qui conduit à l’expression suivante :
L=E
2.4.6...2n
2.
1 . 3 . 5.. . (2n + 1)
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