7. LES poLmvônnm DE LEGENDRE
1.4. Équation différentielle dont les P,(x) sont solutions
Derivons une fois par rapport à z la première relation de récurrence (7.5) faisant intervenir les
dérivées :
ai = %(x, + .P;L(x) + nqpl(x) = ( 7 - L + l)P;),-,(x) + xP;p,(x).
De même, la dérivation de la relation (7.6) donne :
,P&) = xP:L(x) + PA(x) ~ P:I-l(X),
d’où l’on tire :
Éliminons Pl’l(x) entre ces deux relations :
P;;(x) = (n ~ l)P;-,(x) + 2 {xly(x) - (n ~ l)P;(x)}
R.este à éliminer PAPI (x) l’aide de la relation (7.6) :
\
Cette expression ne dépend plus que de F’,(x) et de ses deux premières dérivées :
,
(1 - .“)P;>;(z) - 2zI374 + n(n + l)P,,(z) = 0.
(7.7)
Cette dernière relation est vraie quel que soit TZ, c’est une équation diffkrentiellc linéaire du
I
deuxième ordre appelée équation différentielle de Legendre.
1
I
1.5. Propriétés des racines des polynômes de Legendre
t
Un théorème permet d’affirmer que les zéros de chaque polynôme de Legendre sont simples.
Revenons à la fonction I&(Z) = K(z2 ~ 1)“. Elle possède 2n racines égales à -1 et +l. Le
l
théorème de Rolle montre que Ri,,(z) a une racine réelle entre -1 et +l, et l’on peut ajouter
que cette fonction a (n - 1) racines égales à -1 et (n - 1) racines égales à +l. En poursuivant
/
le calcul jusqu’à la dérivée n ième, on voit que R&)(z) est un polynôme de degré n. qui possède
/
n racines réelles comprises entre -1 et +l. Ce sont, en vertu de la formule de Rodriguès, les
,
racines de P,(z).
1
/
1.6. Norme des polynômes de Legendre
I
,
Calculons à présent l’expression :
+1
+1
J= J
P;(x) dz = K”
J
$(x2 ~ 1)+$x’ - l),’ dx
1
avec K = ~
2%!
-1
-1
Posons
du = $x2 - 1)” dz
et w=
/
117