MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
puis on ajoute et l’on retranche 2n(x2 - I)+l dans la dérivée du second terme :
[(x2 - 1)” + 2nz2(22 - qn-l - 2n(22 - q-1 + 2+? - 1,-l]
_ 1 1 dl’-’
2” n! dZnpl
[(2n + 1)(x2 - 1)” + 2n(22 ~ l)+r] ,
soit encore :
Pn+l(S) = ;;s [(2n + 1)(X2 - V] +Pn-l(x).
Calculons le premier terme du second membre en utilisant la relation découlant de la règle de
Leibnitz, cette quantité est égale à :
En définitive, il vient :
On aboutit finalement à la relation de récurrence désirée :
(n + l)P,+i(z) - (2n + ~)CEP~~,(X) + nP,-l(2) = 0.
(7.4)
Cette expression jointe à Pc(x) = 1 et Pr(x) = z permet donc de calculer aisément tous les
coefficients dc chaque polynôme de Legendre F’,(X) quel que soit n.
1.3. Relations de récurrence faisant intervenir des dérivées
Dérivons la formule de Rodriguès par rapport à 2, cela donne :
soit encore, en utilisant la relation de Leibnitz :
PA(,) = 11
2+l (n - l)! {
x&+n S} (x2 - l)+l,
d’où une première relation de récurrence entre polynômes et dérivées :
PA(x) = xP;L-l(x) + nP,-l(Z).
La relation (7.5) peut encore s’écrire
(n + l)Pn+l(~) = (n + 1) {taper + (n + l)P,(z)}
D’autre part, la dérivation de la relation de récurrence (7.4) donne :
(n + l)Pn+l(z) = (2n + l)PTL(x) + (2n + l)zPA(z) - nPAel(z).
(7.5)
La soustraction de ces deux dernières expressions conduit à la seconde relation de récurrence
entre les polynômes et les dérivées :
nP,(z) = xPn(c7~) - PApl(x) avec n # 0.
(7.6)
Ces deux dernières formules sont utiles dans le cadre de l’étude de la méthode d’intégration
de Gauss-Legendre.
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