7. LES POLYNÔMESDE LEGENDRE
le plus élevé est égal à un. Cela est une affaire de circonstances et nous aurons l’occasion de
revenir sur ce point. Quoi qu’il en soit, puisque
on peut calculer K au moyen de la formule de Leibnitz (1646.-1716) qui fournit l’expression de
la dérivée ne d’un produit (u. w) :
dn(uv)
d”u
d+‘Ju dqv
dz”
~w~+...c~~~
d”v
dz”
dxn-q ,jxq + ’ ’ ’ + Ud2n’
il suffit de poser u = (x - l)n et w = (x + l)n pour obtenir la valeur de K. En effet, pour x = 1,
tous les termes sont nuls sauf le premier et l’on obtient alors :
P,(l) = 1 = KW& = Kn!2’”
ce qui donne :
1
K=--2%!
2 .4 .6?. . (an) ’
et l’on obtient alors l’expression générale des polynômes de Legendre connue sous le nom de
formule de Rodriguès (1815) :
P,(x) = L- x
d” (
2”n! dz”
2 - 1)“.
On déduit sans peine les premiers polynômes :
P()(x) = 1
PI(X) = x
P2(x) = (322 - 1)/2
. .
1.2. Relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs
Nous allons montrer qu’il existe une relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs
P,+I(x), p,(x) et P+I(~). P our cela partons de la formule de Rodriguès (1794-1851) écrite
pour le degré (n + 1) :
1
1
---x
pn+l(x) = 2"+l(n+ l)! &n+l
C+l ( 2_qn+l.
On dérive une fois l’expression (x2 - l)n+1, et l’on obtient :
P,+1(x) = &&$ {x(x2 - l)"}
On peut encore écrire :
PTL+1(x) = &$S {(x2 - l)n + 2nx2(x2 ~ 1),-l}
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