MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Designons par P,(x) le polynôme de Legendre de degré n, la définition impose que :
+1
J
P,(s)P,(x) dz = 0
-1
(7.1)
si P,(s) est le polynôme de Legendre de degré m tel que m # n.
Si l’on remarque qu’un polynôme quelconque Q,(x) de degré p peut s’exprimer selon une combinaison linéaire de polynômes de Legendre de degré égal et inférieur à p (cf. paragraphe 1.14))
alors, pour p < n on aura également :
+1
J
P,(x)Qp(x) dz = 0.
-1
(7.2)
Cette dernière relation va nous permettre d’exprimer les polynômes de Legendre d’une autre
façon en procédant à une intégration par parties. Pour cela, on posera :
où Rs%(z) est un polynôme de degré 2n que nous allons déterminer. On obtient alors :
+1
Jpnm Q,(x) dz = [Q,(x)~R~,,(x)
-1
Il convient de remarquer que le polynôme Rzn(x) est défini à un polynôme de degré (n - 1)
près ; autrement dit, il nous est possible de choisir arbitrairement n constantes définissant &(z),
et l’on peut par conséquent convenir que les (n- 1) premières dérivées de F&(x) ainsi que &(z)
s’annulent pour z = -1. Cela nous conduit à écrire que :
cependant pour que l’intégrale (7.2) soit nulle, il faut encore que :
Cette condition ne peut être satisfaite, quel que soit le polynôme arbitraire Qp(x), que lorsque
Rzn(x) et ses (n ~ 1) premières dérivées s’annulent pour z = 1.
À présent nous avons imposé n conditions au polynôme Rzn(x) ; il reste cependant défini à une
constante multiplicative près que l’on désigne par K. On peut donc l’exprimer sous la forme :
Rz,(x) = K(z - 1)7L(z + 1)” = K(x2 - 1)“.
Il y a plusieurs façons « canoniques B de choisir K. On peut adopter les polynômes orthonormés, on peut préférer la condition P,(l) = 1, mais l’on peut tout aussi bien s’intéresser aux
polynômes à coefficient principal réduit, c’est-à-dire ceux dont le coefficient du terme de degré
114
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Designons par P,(x) le polynôme de Legendre de degré n, la définition impose que :
+1
J
P,(s)P,(x) dz = 0
-1
(7.1)
si P,(s) est le polynôme de Legendre de degré m tel que m # n.
Si l’on remarque qu’un polynôme quelconque Q,(x) de degré p peut s’exprimer selon une combinaison linéaire de polynômes de Legendre de degré égal et inférieur à p (cf. paragraphe 1.14))
alors, pour p < n on aura également :
+1
J
P,(x)Qp(x) dz = 0.
-1
(7.2)
Cette dernière relation va nous permettre d’exprimer les polynômes de Legendre d’une autre
façon en procédant à une intégration par parties. Pour cela, on posera :
où Rs%(z) est un polynôme de degré 2n que nous allons déterminer. On obtient alors :
+1
Jpnm Q,(x) dz = [Q,(x)~R~,,(x)
-1
Il convient de remarquer que le polynôme Rzn(x) est défini à un polynôme de degré (n - 1)
près ; autrement dit, il nous est possible de choisir arbitrairement n constantes définissant &(z),
et l’on peut par conséquent convenir que les (n- 1) premières dérivées de F&(x) ainsi que &(z)
s’annulent pour z = -1. Cela nous conduit à écrire que :
cependant pour que l’intégrale (7.2) soit nulle, il faut encore que :
Cette condition ne peut être satisfaite, quel que soit le polynôme arbitraire Qp(x), que lorsque
Rzn(x) et ses (n ~ 1) premières dérivées s’annulent pour z = 1.
À présent nous avons imposé n conditions au polynôme Rzn(x) ; il reste cependant défini à une
constante multiplicative près que l’on désigne par K. On peut donc l’exprimer sous la forme :
Rz,(x) = K(z - 1)7L(z + 1)” = K(x2 - 1)“.
Il y a plusieurs façons « canoniques B de choisir K. On peut adopter les polynômes orthonormés, on peut préférer la condition P,(l) = 1, mais l’on peut tout aussi bien s’intéresser aux
polynômes à coefficient principal réduit, c’est-à-dire ceux dont le coefficient du terme de degré
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