7 Les polynômes de Legendre.
, s Méthode d’intégration
1 de Gauss-Legendre
Ces polynômes sont nés d’une étude que Legendre (1752 1833) entreprit à propos de l’étude de
l’attraction newtonienne en l/r2. MacLaurin et Clairault (171331765) ont démontré que la figure
d’équilibre d’une masse fluide en rotation dont les particules s’attirent mutuellement selon la loi
de Newton est un ellipsoïde de révolution. MacLaurin détermina aussi la valeur de l’attraction
exercée par un ellipsoïde homogène sur un point situé en son intérieur et sur sa surface. En 1783,
Legendre étendit le calcul de l’attraction exercée sur un point situé à l’extérieur de l’ellipsoïde.
La solution repose sur l’introduction d’un ellipsoïde homofocal et d’une fonction génératrice
des fameux polynômes de Legendre. Clairaut introduisit le premier la notion de potentiel pour
ce genre de problèmes et en 1785 Laplace montra que le potentiel obéissait à l’équation aux
dérivées partielles qui porte aujourd’hui son nom. Les polynômes de Legendre rentrent, comme
cas particulier, dans la classe des fonctions sphériques introduites par Laplace en 1785.
Aujourd’hui, c’est en électrostatique que l’on se familiarise avec les polynômes de Legendre,
mais il faut rappeler que la loi de Coulomb (1736.1806) est postérieure de deux ans à leur
avènement.
Nous connaissons l’intérêt qu’il y a de définir une base (complète) de fonctions orthogonales
dans le problème d’approximation de fonctions par des combinaisons linéaires. Les polynômes de
Legendre ont la propriété d’être orthogonaux et de constituer un système complet sur (-1, +l)
pour les fonctions généralement continues, ainsi s’ils sont utilisés comme base de décomposition,
les coefficients de la combinaison linéaire ne sont pas corrélés, c’est-à-dire qu’ils sont calculés une
fois pour toutes, comme le sont les coefficients des séries de Fourier avec lesquels nous sommes
davantage familiarisés.
Les polynômes de Legendre ont connu rapidement une autre fortune entre les mains de Gauss
(1777-1855) qui a utilisé leur propriété d’orthogonalité en proposant une méthode d’intégration
numérique particulièrement précise. La technique opératoire est d’une très grande simplicité, en
revanche, l’établissement des relations exige quelques calculs, et c’est le but de ce chapitre que
de proposer les enchaînements mathématiques propres à éclairer la méthode.
1. Les polynômes de Legendre
1.1. Définition
Les polynômes de Legendre sont des polynômes orthogonaux sur l’intervalle fondamental
(-1, +l) qui prennent la valeur +l pour la valeur +l de la variable.
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, s Méthode d’intégration
1 de Gauss-Legendre
Ces polynômes sont nés d’une étude que Legendre (1752 1833) entreprit à propos de l’étude de
l’attraction newtonienne en l/r2. MacLaurin et Clairault (171331765) ont démontré que la figure
d’équilibre d’une masse fluide en rotation dont les particules s’attirent mutuellement selon la loi
de Newton est un ellipsoïde de révolution. MacLaurin détermina aussi la valeur de l’attraction
exercée par un ellipsoïde homogène sur un point situé en son intérieur et sur sa surface. En 1783,
Legendre étendit le calcul de l’attraction exercée sur un point situé à l’extérieur de l’ellipsoïde.
La solution repose sur l’introduction d’un ellipsoïde homofocal et d’une fonction génératrice
des fameux polynômes de Legendre. Clairaut introduisit le premier la notion de potentiel pour
ce genre de problèmes et en 1785 Laplace montra que le potentiel obéissait à l’équation aux
dérivées partielles qui porte aujourd’hui son nom. Les polynômes de Legendre rentrent, comme
cas particulier, dans la classe des fonctions sphériques introduites par Laplace en 1785.
Aujourd’hui, c’est en électrostatique que l’on se familiarise avec les polynômes de Legendre,
mais il faut rappeler que la loi de Coulomb (1736.1806) est postérieure de deux ans à leur
avènement.
Nous connaissons l’intérêt qu’il y a de définir une base (complète) de fonctions orthogonales
dans le problème d’approximation de fonctions par des combinaisons linéaires. Les polynômes de
Legendre ont la propriété d’être orthogonaux et de constituer un système complet sur (-1, +l)
pour les fonctions généralement continues, ainsi s’ils sont utilisés comme base de décomposition,
les coefficients de la combinaison linéaire ne sont pas corrélés, c’est-à-dire qu’ils sont calculés une
fois pour toutes, comme le sont les coefficients des séries de Fourier avec lesquels nous sommes
davantage familiarisés.
Les polynômes de Legendre ont connu rapidement une autre fortune entre les mains de Gauss
(1777-1855) qui a utilisé leur propriété d’orthogonalité en proposant une méthode d’intégration
numérique particulièrement précise. La technique opératoire est d’une très grande simplicité, en
revanche, l’établissement des relations exige quelques calculs, et c’est le but de ce chapitre que
de proposer les enchaînements mathématiques propres à éclairer la méthode.
1. Les polynômes de Legendre
1.1. Définition
Les polynômes de Legendre sont des polynômes orthogonaux sur l’intervalle fondamental
(-1, +l) qui prennent la valeur +l pour la valeur +l de la variable.
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