MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
cette dernière expression peut encore se transformer avantageusement de la façon suivante :
C~jCm,(uk)~i(uk)=Cpll(ak)lrk
avec Z=0,1,2,...,m.
j=o
k=O
k=O
Nous obtenons alors un système linéaire de (m + 1) équations à (m + 1) inconnues dont la
résolution nous fournira les coefficients aj.
Remarque : Dans le cas où la fonction f(x) que l’on approche par la fonction O(x) est connue
analytiquement, alors les sommes discrètes sont remplacées par des intégrales sur l’intervalle
d’interpolation 1. Il s’ensuit que
b
E2 = e2(x) dz
s
avec E(X) = f(x) ~ ffJ cyjQj(x).
a
j=l
Les coefficients oj sont alors déterminés par les (m + 1) équations suivantes :
b
fI~(x)@~(x) dz -
s
$(X)~(Z) dz = 0,
a
avec 1 = 0, 1,2, . . , m. Le calcul de ces intégrales peut être éventuellement conduit numériquement dans le cas où les quadratures n’existent pas, ou pour le moins ne sont pas évidentes.
Applications immédiates
a - Il est aisé de rechercher un polynôme de degré strictement inférieur à n qui passe le plus
près possible de tous les points au sens des moindres carrés. Généralement on parle de régression
parabolique au moyen d’un polynôme de degré m ; le cas le plus connu étant le polynôme de degré
un qui est encore appelé droite de régression en hommage au travaux de Galton (182221911)
qui introduisit cette dénomination à l’occasion d’études statistiques concernant la biologie et
l’eugénique.
b - Système linéaire surdéterminé de (m + 1) équations à (n+ 1) inconnues m étant plus grand
ou égal à n. On écrit le système :
2 UZkxk + (Yk = 0,
pour 1 = 0, 1,2,. . . , R.
j=o
Sans trop de difficulté on obtient le système des équations normales associé au système
surdéterminé de (n + 1) équations à (m + 1) inconnues. Il sulht de remplacer @l(x) par XL
dans la relation précédemment établie ; on obtient alors :
xaj xu&ujk = xurr:hk
avec 1 = 0, 1,2,. . ,m.
j=o
k=O
j=o
110
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
cette dernière expression peut encore se transformer avantageusement de la façon suivante :
C~jCm,(uk)~i(uk)=Cpll(ak)lrk
avec Z=0,1,2,...,m.
j=o
k=O
k=O
Nous obtenons alors un système linéaire de (m + 1) équations à (m + 1) inconnues dont la
résolution nous fournira les coefficients aj.
Remarque : Dans le cas où la fonction f(x) que l’on approche par la fonction O(x) est connue
analytiquement, alors les sommes discrètes sont remplacées par des intégrales sur l’intervalle
d’interpolation 1. Il s’ensuit que
b
E2 = e2(x) dz
s
avec E(X) = f(x) ~ ffJ cyjQj(x).
a
j=l
Les coefficients oj sont alors déterminés par les (m + 1) équations suivantes :
b
fI~(x)@~(x) dz -
s
$(X)~(Z) dz = 0,
a
avec 1 = 0, 1,2, . . , m. Le calcul de ces intégrales peut être éventuellement conduit numériquement dans le cas où les quadratures n’existent pas, ou pour le moins ne sont pas évidentes.
Applications immédiates
a - Il est aisé de rechercher un polynôme de degré strictement inférieur à n qui passe le plus
près possible de tous les points au sens des moindres carrés. Généralement on parle de régression
parabolique au moyen d’un polynôme de degré m ; le cas le plus connu étant le polynôme de degré
un qui est encore appelé droite de régression en hommage au travaux de Galton (182221911)
qui introduisit cette dénomination à l’occasion d’études statistiques concernant la biologie et
l’eugénique.
b - Système linéaire surdéterminé de (m + 1) équations à (n+ 1) inconnues m étant plus grand
ou égal à n. On écrit le système :
2 UZkxk + (Yk = 0,
pour 1 = 0, 1,2,. . . , R.
j=o
Sans trop de difficulté on obtient le système des équations normales associé au système
surdéterminé de (n + 1) équations à (m + 1) inconnues. Il sulht de remplacer @l(x) par XL
dans la relation précédemment établie ; on obtient alors :
xaj xu&ujk = xurr:hk
avec 1 = 0, 1,2,. . ,m.
j=o
k=O
j=o
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