6. L’INTERPOLATION
17. Approximation par une combinaison linéaire de fonctions
Les polynômes de degri: n constituent une première méthode pour approcher une fonction f(z)
lorsque nous en connaissons (n + 1) points. Cependant, dans bien des situations concrètes,
l’échantillonnage à traiter est obtenu à partir de données expérimentales entachées d’erreur. Il
devient illusoire de vouloir trouver un polynôme passant par chacun des points obtenus, car il
n’y a en général aucun intérêt à vouloir rendre compte de l’aspect aléatoire des phénomènes
étudiés... Dans ce cas précis, on dispose de considérations à caractère théorique qui permettent
de pressentir une fonction ou une combinaison linéaire de fonctions qui passe au voisinage de tous
les points d’échantillonnage. Bien entendu, il convient de définir ce qu’on entend par voisinage,
mais au préalable, il faut distinguer les types d’approximation que nous venons d’évoquer :
soit nous désirons connaître les coefficients figurant dans une certaine fonction, plus ou moins
compliquée, censée rendre compte d’une expérience, soit nous cherchons à déterminer les valeurs
des coefficients d’une forme linéaire destinée à «lisser » les points expérimentaux.
Le premier problème est généralement non linéaire et pose un certain nombre des difficultés
techniques sur le plan du calcul numérique. Le second se résout tout naturellement au moyen du
calcul matriciel que nous avons évoqué au début de ce chapitre. C’est cet aspect qui va retenir
notre attention, et nous nous proposons de «passer le plus près possible de tous les points » au
moyen d’une combinaison linéaire de fonctions @j(z) dont le nombre (m + 1) est inférieur (ou
égal) au nombre (n + 1) de points.
A priori, il y a bien des moyens de « passer le plus près possible de tous les points », et il
est aisé de subodorer qu’il existe une infinité de solutions au sens mathématique du terme. À
ce stade, il est nécessaire de préciser ses désirs, et c’est la méthode des moindres carrés qui se
présente en excellente position pour résoudre le problème. Désignons par :
j=o
notre combinaison linéaire. La méthode des moindres carrés consiste à rendre minimum la forme
quadratique :
2
CL$&~) - bk
.
On dit aussi que l’on rend la somme des carrés des résidus la plus petite possible, car la
différence &k = ~~=, o3 @j(uk) - bk s’appelle résidu d’observation. La dérivation par rapport
aux coefficients (Y, qui rend minimum la forme quadratique donne immédiatement une forme
linéaire qui détermine précisément les coefficients oj.
Nous cherchons donc à rendre minimum la quantité :
pour cela on écrit que les m équations s’annulent, soit :
109
17. Approximation par une combinaison linéaire de fonctions
Les polynômes de degri: n constituent une première méthode pour approcher une fonction f(z)
lorsque nous en connaissons (n + 1) points. Cependant, dans bien des situations concrètes,
l’échantillonnage à traiter est obtenu à partir de données expérimentales entachées d’erreur. Il
devient illusoire de vouloir trouver un polynôme passant par chacun des points obtenus, car il
n’y a en général aucun intérêt à vouloir rendre compte de l’aspect aléatoire des phénomènes
étudiés... Dans ce cas précis, on dispose de considérations à caractère théorique qui permettent
de pressentir une fonction ou une combinaison linéaire de fonctions qui passe au voisinage de tous
les points d’échantillonnage. Bien entendu, il convient de définir ce qu’on entend par voisinage,
mais au préalable, il faut distinguer les types d’approximation que nous venons d’évoquer :
soit nous désirons connaître les coefficients figurant dans une certaine fonction, plus ou moins
compliquée, censée rendre compte d’une expérience, soit nous cherchons à déterminer les valeurs
des coefficients d’une forme linéaire destinée à «lisser » les points expérimentaux.
Le premier problème est généralement non linéaire et pose un certain nombre des difficultés
techniques sur le plan du calcul numérique. Le second se résout tout naturellement au moyen du
calcul matriciel que nous avons évoqué au début de ce chapitre. C’est cet aspect qui va retenir
notre attention, et nous nous proposons de «passer le plus près possible de tous les points » au
moyen d’une combinaison linéaire de fonctions @j(z) dont le nombre (m + 1) est inférieur (ou
égal) au nombre (n + 1) de points.
A priori, il y a bien des moyens de « passer le plus près possible de tous les points », et il
est aisé de subodorer qu’il existe une infinité de solutions au sens mathématique du terme. À
ce stade, il est nécessaire de préciser ses désirs, et c’est la méthode des moindres carrés qui se
présente en excellente position pour résoudre le problème. Désignons par :
j=o
notre combinaison linéaire. La méthode des moindres carrés consiste à rendre minimum la forme
quadratique :
2
CL$&~) - bk
.
On dit aussi que l’on rend la somme des carrés des résidus la plus petite possible, car la
différence &k = ~~=, o3 @j(uk) - bk s’appelle résidu d’observation. La dérivation par rapport
aux coefficients (Y, qui rend minimum la forme quadratique donne immédiatement une forme
linéaire qui détermine précisément les coefficients oj.
Nous cherchons donc à rendre minimum la quantité :
pour cela on écrit que les m équations s’annulent, soit :
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