2.4 Sources d’erreurs dans un mod` ele num´ erique
43
Notons `
a pr´ esent { ˆ
αi} les racines approch´ ees de pn (calcul´ ees d’une mani` ere ou
d’une autre). L’analyse r´ etrograde fournit une estimation des perturbations δak qui
devraient affecter les coefficients afin que
n
k=0 (ak + δak)ˆ α
k
i = 0, pour un ˆ
αi fix´ e. Le
but de l’analyse d’erreur a posteriori serait plutˆ ot d’estimer l’erreur αi − ˆ
αi comme
une fonction du r´ esidu pn(ˆ αi).
Cette analyse sera faite dans la Section 6.1.
•
Exemple 2.9 Consid´ erons le syst` eme lin´ eaire Ax=b, o` u A∈ R
n×n est une matrice
inversible.
Pour le syst` eme perturb´ e ˜
A˜ x = ˜
b, l’analyse directe fournit une estimation de
l’erreur x − ˜
x en fonction de A − ˜
A et b − ˜
b. Dans l’analyse r´ etrograde, on ´ evalue les
perturbations δA = (δaij ) et δb = (δbi) que devraient subir les termes de A et b afin
d’obtenir (A + δA) xn = b + δb,
xn ´ etant la solution approch´ ee du syst` eme lin´ eaire
(calcul´ ee par une m´ ethode donn´ ee). Enfin, dans une ´ etude d’erreur a posteriori, on
recherche une estimation de l’erreur x−
xn comme fonction du r´ esidu rn = b − A xn.
Nous d´ evelopperons cette analyse dans la Section 3.1.
•
Il est important de souligner l’importance du rˆ ole jou´ e par l’analyse a posteriori dans l’´ elaboration des strat´ egies de contrˆ ole d’erreur adaptatif. Ces
techniques, qui consistent ` a modifier convenablement les param` etres de discr´ etisation (par exemple, la distance entre les noeuds dans l’int´ egration num´ erique d’une fonction ou d’une ´ equation diff´ erentielle), emploient l’analyse
a posteriori afin d’assurer que l’erreur ne d´ epasse pas une tol´ erance fix´ ee.
Une m´ ethode num´ erique qui utilise un contrˆ ole adaptatif d’erreur est appel´ ee m´ ethode num´ erique adaptative. En pratique, une m´ ethode de ce type
met en œuvre dans le processus de calcul l’id´ ee de r´ etroaction : elle effectue,
sur la base d’une solution calcul´ ee, un test de convergence qui garantit un
contrˆ ole de l’erreur. Quand le test de convergence ´ echoue, une strat´ egie pour
modifier les param` etres de discr´ etisation est automatiquement adopt´ ee afin
d’am´ eliorer la pr´ ecision de la nouvelle solution, et l’ensemble de la proc´ edure
est r´ ep´ et´ ee jusqu’` a ce que le test de convergence soit satisfait.
2.4 Sources d’erreurs dans un mod` ele num´ erique
Quand le probl` eme num´ erique (2.12) est l’approximation du probl` eme math´ ematique (2.1) et que ce dernier est ` a son tour issu d’un probl` eme physique
(not´ e PP), nous dirons que (2.12) est un mod` ele num´ erique de PP.
Dans ce processus, l’erreur globale, not´ ee e, s’exprime comme la diff´ erence
entre la solution effectivement calcul´ ee,
x n , et la solution physique, x ph , dont
x est un mod` ele. On peut donc interpr´ eter l’erreur globale e comme la somme
de l’erreur du mod` ele math´ ematique e m = x − x ph et de l’erreur du mod` ele
num´ erique, e c =
x n − x. Autrement dit e = e m + e c (voir Figure 2.1).
L’erreur e m prend en compte l’erreur commise par le mod` ele math´ ematique
au sens strict (c’est-` a-dire, dans quelle mesure l’´ equation fonctionnelle (2.1)
d´ ecrit de fa¸ con r´ ealiste le probl` eme PP) et l’erreur sur les donn´ ees (c’est-` a-dire
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Notons `
a pr´ esent { ˆ
αi} les racines approch´ ees de pn (calcul´ ees d’une mani` ere ou
d’une autre). L’analyse r´ etrograde fournit une estimation des perturbations δak qui
devraient affecter les coefficients afin que
n
k=0 (ak + δak)ˆ α
k
i = 0, pour un ˆ
αi fix´ e. Le
but de l’analyse d’erreur a posteriori serait plutˆ ot d’estimer l’erreur αi − ˆ
αi comme
une fonction du r´ esidu pn(ˆ αi).
Cette analyse sera faite dans la Section 6.1.
•
Exemple 2.9 Consid´ erons le syst` eme lin´ eaire Ax=b, o` u A∈ R
n×n est une matrice
inversible.
Pour le syst` eme perturb´ e ˜
A˜ x = ˜
b, l’analyse directe fournit une estimation de
l’erreur x − ˜
x en fonction de A − ˜
A et b − ˜
b. Dans l’analyse r´ etrograde, on ´ evalue les
perturbations δA = (δaij ) et δb = (δbi) que devraient subir les termes de A et b afin
d’obtenir (A + δA) xn = b + δb,
xn ´ etant la solution approch´ ee du syst` eme lin´ eaire
(calcul´ ee par une m´ ethode donn´ ee). Enfin, dans une ´ etude d’erreur a posteriori, on
recherche une estimation de l’erreur x−
xn comme fonction du r´ esidu rn = b − A xn.
Nous d´ evelopperons cette analyse dans la Section 3.1.
•
Il est important de souligner l’importance du rˆ ole jou´ e par l’analyse a posteriori dans l’´ elaboration des strat´ egies de contrˆ ole d’erreur adaptatif. Ces
techniques, qui consistent ` a modifier convenablement les param` etres de discr´ etisation (par exemple, la distance entre les noeuds dans l’int´ egration num´ erique d’une fonction ou d’une ´ equation diff´ erentielle), emploient l’analyse
a posteriori afin d’assurer que l’erreur ne d´ epasse pas une tol´ erance fix´ ee.
Une m´ ethode num´ erique qui utilise un contrˆ ole adaptatif d’erreur est appel´ ee m´ ethode num´ erique adaptative. En pratique, une m´ ethode de ce type
met en œuvre dans le processus de calcul l’id´ ee de r´ etroaction : elle effectue,
sur la base d’une solution calcul´ ee, un test de convergence qui garantit un
contrˆ ole de l’erreur. Quand le test de convergence ´ echoue, une strat´ egie pour
modifier les param` etres de discr´ etisation est automatiquement adopt´ ee afin
d’am´ eliorer la pr´ ecision de la nouvelle solution, et l’ensemble de la proc´ edure
est r´ ep´ et´ ee jusqu’` a ce que le test de convergence soit satisfait.
2.4 Sources d’erreurs dans un mod` ele num´ erique
Quand le probl` eme num´ erique (2.12) est l’approximation du probl` eme math´ ematique (2.1) et que ce dernier est ` a son tour issu d’un probl` eme physique
(not´ e PP), nous dirons que (2.12) est un mod` ele num´ erique de PP.
Dans ce processus, l’erreur globale, not´ ee e, s’exprime comme la diff´ erence
entre la solution effectivement calcul´ ee,
x n , et la solution physique, x ph , dont
x est un mod` ele. On peut donc interpr´ eter l’erreur globale e comme la somme
de l’erreur du mod` ele math´ ematique e m = x − x ph et de l’erreur du mod` ele
num´ erique, e c =
x n − x. Autrement dit e = e m + e c (voir Figure 2.1).
L’erreur e m prend en compte l’erreur commise par le mod` ele math´ ematique
au sens strict (c’est-` a-dire, dans quelle mesure l’´ equation fonctionnelle (2.1)
d´ ecrit de fa¸ con r´ ealiste le probl` eme PP) et l’erreur sur les donn´ ees (c’est-` a-dire