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2 Les fondements du calcul scientifique
On peut donc conclure, grˆ ace ` a (2.13), que x(d) − x n (d) → 0 quand n → ∞.
Le r´ esultat que nous venons de prouver formellement, bien qu’´ enonc´ e en
termes qualitatifs, est un r´ esultat fondamental de l’analyse num´ erique, connu
sous le nom de th´ eor` eme d’´ equivalence (th´ eor` eme de Lax-Richtmyer) : “pour
une m´ ethode num´ erique consistante, la stabilit´ e est ´ equivalente `
a la convergence”. On trouvera une preuve rigoureuse de ce th´ eor` eme dans [Dah56] pour
les probl` emes de Cauchy lin´ eaires, ou dans [Lax65] et [RM67] pour les probl` emes aux valeurs initiales lin´ eaires et bien pos´ es.
2.3 Analyse a priori et a posteriori
L’analyse de la stabilit´ e d’une m´ ethode num´ erique peut ˆ etre men´ ee en suivant
deux strat´ egies diff´ erentes :
1. une analyse directe, qui fournit une majoration des variations δx n de la
solution dues aux perturbations des donn´ ees et aux erreurs intrins` eques
de la m´ ethode num´ erique ;
2. une analyse r´ etrograde, ou analyse par perturbation, dont le but est d’estimer les perturbations qui devraient ˆ etre appliqu´ ees aux donn´ ees d’un
probl` eme afin d’obtenir les r´ esultats effectivement calcul´ es, sous l’hypoth` ese qu’on travaille en arithm´ etique exacte. Autrement dit, pour une
certaine solution calcul´ ee
x n , l’analyse r´ etrograde consiste ` a chercher les
perturbations δd n des donn´ ees telles que F n ( x n , d n +δd n ) = 0. Remarquer
que, quand on proc` ede ` a une telle estimation, on ne tient absolument pas
compte de la mani` ere dont
x n a ´ et´ e obtenu (c’est-` a-dire de la m´ ethode
qui a ´ et´ e utilis´ ee pour le calculer).
L’analyse directe et l’analyse r´ etrograde sont deux exemples de ce qu’on
appelle l’analyse a priori. Celle-ci peut non seulement s’appliquer `
a l’´ etude de
la stabilit´ e d’une m´ ethode num´ erique, mais aussi ` a l’´ etude de sa convergence.
Dans ce dernier cas, on parle d’analyse d’erreur a priori. A nouveau, elle
peut ˆ etre effectu´ ee par des techniques directes ou r´ etrogrades.
L’analyse d’erreur a priori se distingue de l’analyse d’erreur a posteriori
qui consiste ` a ´ etablir une estimation de l’erreur sur la base des quantit´ es qui
sont effectivement calcul´ ees par la m´ ethode num´ erique consid´ er´ ee. Typiquement, en notant
x n la solution num´ erique calcul´ ee, pour approcher la solution
x du probl` eme (2.1), l’analyse d’erreur a posteriori consiste ` a ´ evaluer l’erreur
x −
x n en fonction du r´ esidu r n = F ( x n , d) au moyen de constantes appel´ ees
facteurs de stabilit´ e (voir [EEHJ96]).
Exemple 2.8 Afin d’illustrer ceci, consid´ erons le probl` eme de la d´ etermination des
racines α1, . . . , αn d’un polynˆ ome pn(x) =
n
k=0 akx
k de degr´ e n.
Notons ˜
pn(x) =
n
k=0 ˜
akx
k un polynˆ ome perturb´ e dont les racines sont ˜
αi. Le
but de l’analyse directe est d’estimer l’erreur entre deux z´ eros αi et ˜
αi, en fonction
de la diff´ erence entre les coefficients ak − ˜ ak, k = 0, 1, . . . , n.
2 Les fondements du calcul scientifique
On peut donc conclure, grˆ ace ` a (2.13), que x(d) − x n (d) → 0 quand n → ∞.
Le r´ esultat que nous venons de prouver formellement, bien qu’´ enonc´ e en
termes qualitatifs, est un r´ esultat fondamental de l’analyse num´ erique, connu
sous le nom de th´ eor` eme d’´ equivalence (th´ eor` eme de Lax-Richtmyer) : “pour
une m´ ethode num´ erique consistante, la stabilit´ e est ´ equivalente `
a la convergence”. On trouvera une preuve rigoureuse de ce th´ eor` eme dans [Dah56] pour
les probl` emes de Cauchy lin´ eaires, ou dans [Lax65] et [RM67] pour les probl` emes aux valeurs initiales lin´ eaires et bien pos´ es.
2.3 Analyse a priori et a posteriori
L’analyse de la stabilit´ e d’une m´ ethode num´ erique peut ˆ etre men´ ee en suivant
deux strat´ egies diff´ erentes :
1. une analyse directe, qui fournit une majoration des variations δx n de la
solution dues aux perturbations des donn´ ees et aux erreurs intrins` eques
de la m´ ethode num´ erique ;
2. une analyse r´ etrograde, ou analyse par perturbation, dont le but est d’estimer les perturbations qui devraient ˆ etre appliqu´ ees aux donn´ ees d’un
probl` eme afin d’obtenir les r´ esultats effectivement calcul´ es, sous l’hypoth` ese qu’on travaille en arithm´ etique exacte. Autrement dit, pour une
certaine solution calcul´ ee
x n , l’analyse r´ etrograde consiste ` a chercher les
perturbations δd n des donn´ ees telles que F n ( x n , d n +δd n ) = 0. Remarquer
que, quand on proc` ede ` a une telle estimation, on ne tient absolument pas
compte de la mani` ere dont
x n a ´ et´ e obtenu (c’est-` a-dire de la m´ ethode
qui a ´ et´ e utilis´ ee pour le calculer).
L’analyse directe et l’analyse r´ etrograde sont deux exemples de ce qu’on
appelle l’analyse a priori. Celle-ci peut non seulement s’appliquer `
a l’´ etude de
la stabilit´ e d’une m´ ethode num´ erique, mais aussi ` a l’´ etude de sa convergence.
Dans ce dernier cas, on parle d’analyse d’erreur a priori. A nouveau, elle
peut ˆ etre effectu´ ee par des techniques directes ou r´ etrogrades.
L’analyse d’erreur a priori se distingue de l’analyse d’erreur a posteriori
qui consiste ` a ´ etablir une estimation de l’erreur sur la base des quantit´ es qui
sont effectivement calcul´ ees par la m´ ethode num´ erique consid´ er´ ee. Typiquement, en notant
x n la solution num´ erique calcul´ ee, pour approcher la solution
x du probl` eme (2.1), l’analyse d’erreur a posteriori consiste ` a ´ evaluer l’erreur
x −
x n en fonction du r´ esidu r n = F ( x n , d) au moyen de constantes appel´ ees
facteurs de stabilit´ e (voir [EEHJ96]).
Exemple 2.8 Afin d’illustrer ceci, consid´ erons le probl` eme de la d´ etermination des
racines α1, . . . , αn d’un polynˆ ome pn(x) =
n
k=0 akx
k de degr´ e n.
Notons ˜
pn(x) =
n
k=0 ˜
akx
k un polynˆ ome perturb´ e dont les racines sont ˜
αi. Le
but de l’analyse directe est d’estimer l’erreur entre deux z´ eros αi et ˜
αi, en fonction
de la diff´ erence entre les coefficients ak − ˜ ak, k = 0, 1, . . . , n.