2.2 Stabilit´ e des m´ ethodes num´ eriques
41
2.2.1 Relations entre stabilit´ e et convergence
Les concepts de stabilit´ e et de convergence sont fortement li´ es.
Avant tout, si le probl` eme (2.1) est bien pos´ e, la stabilit´ e est une condition
n´ ecessaire pour que le probl` eme num´ erique (2.12) soit convergeant.
Supposons que la m´ ethode soit convergente, c’est-` a-dire, que (2.20) soit
v´ erifi´ ee pour ε > 0 arbitraire. On a
δx n = x n (d + δd n ) − x n (d) ≤ ≤x n (d) − x(d)
+ x(d) − x(d + δd n ) + x(d + δd n ) − x n (d + δd n )
≤ K(δ(n 0 , ε), d)δd n + ε ,
(2.24)
o` u on a utilis´ e (2.3) et (2.21) deux fois. Choisissant maitenant δd n tel que
δd n ≤ η 0 , on en d´ eduit que δx n /δd n peut ˆ etre major´ e par K 0 =
K(δ(n 0 , ε), d) + 1, `
a condition que ε ≤ ≤δd n .
La m´ ethode est donc stable. Ainsi, nous ne nous int´ eressons qu’aux m´ ethodes num´ eriques stables car ce sont les seules ` a ˆ etre convergentes.
La stabilit´ e d’une m´ ethode num´ erique devient une condition suffisante
pour que le probl` eme num´ erique (2.12) converge si ce dernier est ´ egalement
consistant avec le probl` eme (2.1). En effet, sous ces hypoth` eses, on a
+ δd n ) − x n (d + δd n ) ≤ ≤x(d + δd n ) − x(d) + x(d) − x n (d)
+ x n (d) − x n (d + δd n ).
Grˆ ace ` a (2.3), le premier terme du second membre peut ˆ etre born´ e par δd n
(` a une constante multiplicative pr` es, ind´ ependante de δd n ). On peut trouver
une majoration analogue pour le troisi` eme terme, grˆ ace ` a la propri´ et´ e de stabilit´ e (2.16). Enfin, en ce qui concerne le terme restant, si F n est diff´ erentiable
par rapport `
a x, un d´ eveloppement de Taylor permet d’obtenir
F n (x(d), d) − F n (x n (d), d) =
∂F n
∂x
| (x,d) (x(d) − x n (d)),
pour un certain x compris entre x(d) et x n (d). En supposant aussi que ∂F n /∂x
est inversible, on obtient
x(d) − x n (d) =
∂F n
∂x
−1
|(x,d)
[F n (x(d), d) − F n (x n (d), d)].
(2.25)
D’autre part, en rempla¸ cant F n (x n (d), d) par F (x(d), d) (tous les deux ´ etant
nuls) et en prenant les normes des deux membres, on trouve
− x n (d) ≤
∂F n
∂x
−1
|(x,d)
n (x(d), d) − F (x(d), d).
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2.2.1 Relations entre stabilit´ e et convergence
Les concepts de stabilit´ e et de convergence sont fortement li´ es.
Avant tout, si le probl` eme (2.1) est bien pos´ e, la stabilit´ e est une condition
n´ ecessaire pour que le probl` eme num´ erique (2.12) soit convergeant.
Supposons que la m´ ethode soit convergente, c’est-` a-dire, que (2.20) soit
v´ erifi´ ee pour ε > 0 arbitraire. On a
δx n = x n (d + δd n ) − x n (d) ≤ ≤x n (d) − x(d)
+ x(d) − x(d + δd n ) + x(d + δd n ) − x n (d + δd n )
≤ K(δ(n 0 , ε), d)δd n + ε ,
(2.24)
o` u on a utilis´ e (2.3) et (2.21) deux fois. Choisissant maitenant δd n tel que
δd n ≤ η 0 , on en d´ eduit que δx n /δd n peut ˆ etre major´ e par K 0 =
K(δ(n 0 , ε), d) + 1, `
a condition que ε ≤ ≤δd n .
La m´ ethode est donc stable. Ainsi, nous ne nous int´ eressons qu’aux m´ ethodes num´ eriques stables car ce sont les seules ` a ˆ etre convergentes.
La stabilit´ e d’une m´ ethode num´ erique devient une condition suffisante
pour que le probl` eme num´ erique (2.12) converge si ce dernier est ´ egalement
consistant avec le probl` eme (2.1). En effet, sous ces hypoth` eses, on a
+ δd n ) − x n (d + δd n ) ≤ ≤x(d + δd n ) − x(d) + x(d) − x n (d)
+ x n (d) − x n (d + δd n ).
Grˆ ace ` a (2.3), le premier terme du second membre peut ˆ etre born´ e par δd n
(` a une constante multiplicative pr` es, ind´ ependante de δd n ). On peut trouver
une majoration analogue pour le troisi` eme terme, grˆ ace ` a la propri´ et´ e de stabilit´ e (2.16). Enfin, en ce qui concerne le terme restant, si F n est diff´ erentiable
par rapport `
a x, un d´ eveloppement de Taylor permet d’obtenir
F n (x(d), d) − F n (x n (d), d) =
∂F n
∂x
| (x,d) (x(d) − x n (d)),
pour un certain x compris entre x(d) et x n (d). En supposant aussi que ∂F n /∂x
est inversible, on obtient
x(d) − x n (d) =
∂F n
∂x
−1
|(x,d)
[F n (x(d), d) − F n (x n (d), d)].
(2.25)
D’autre part, en rempla¸ cant F n (x n (d), d) par F (x(d), d) (tous les deux ´ etant
nuls) et en prenant les normes des deux membres, on trouve
− x n (d) ≤
∂F n
∂x
−1
|(x,d)
n (x(d), d) − F (x(d), d).