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2 Les fondements du calcul scientifique
PP : x ph
F (x, d) = 0
F n (x n , d n ) = 0
e m
x n
e
e a
e c
e n
Fig. 2.1. Erreurs dans les mod` eles num´ eriques
la pr´ ecision avec laquelle d refl` ete les donn´ ees physiques r´ eelles). De mˆ eme,
e c est une combinaison de l’erreur de discr´ etisation e n = x n − x, de l’erreur
induite par l’algorithme num´ erique, et enfin, de l’erreur d’arrondi e r introduite
par l’ordinateur au cours de la r´ esolution effective du probl` eme (2.12) (voir
Section 2.5).
On peut donc d´ egager, en g´ en´ eral, les sources d’erreurs suivantes :
1. les erreurs dues au mod` ele, qu’on peut contrˆ oler par un choix convenable
du mod` ele math´ ematique ;
2. les erreurs sur les donn´ ees, qui peuvent ˆ etre r´ eduites en am´ eliorant la
pr´ ecision des mesures ;
3. les erreurs de troncature, qui proviennent du fait qu’on a remplac´ e dans
le mod` ele num´ erique des passages ` a la limite par des op´ erations mettant
en jeu un nombre fini d’´ etapes ;
4. les erreurs d’arrondi.
Les erreurs des points 3 et 4 constituent l’erreur num´ erique. Une m´ ethode
num´ erique est convergente si cette erreur peut ˆ etre rendue arbitrairement
petite quand on augmente l’effort de calcul. Naturellement, la convergence est
le but principal – mais non unique – d’une m´ ethode num´ erique ; les autres
´ etant la pr´ ecision, la fiabilit´ e et l’efficacit´ e.
La pr´ ecision signifie que les erreurs sont petites par rapport `
a une tol´ erance fix´ ee. On la mesure g´ en´ eralement par l’ordre infinit´ esimal de l’erreur
e n par rapport au param` etre caract´ eristique de discr´ etisation (par exemple
la distance la plus grande entre les noeuds de discr´ etisation). On notera en
passant que la pr´ ecision de la machine ne limite pas, sur le plan th´ eorique, la
pr´ ecision de la m´ ethode.
La fiabilit´ e signifie qu’il est possible de garantir que l’erreur globale se situe
en dessous d’une certaine tol´ erance. Naturellement, un mod` ele num´ erique peut
ˆ etre consid´ er´ e comme fiable seulement s’il a ´ et´ e convenablement test´ e, c’est` a-dire valid´ e par plusieurs cas tests.
2 Les fondements du calcul scientifique
PP : x ph
F (x, d) = 0
F n (x n , d n ) = 0
e m
x n
e
e a
e c
e n
Fig. 2.1. Erreurs dans les mod` eles num´ eriques
la pr´ ecision avec laquelle d refl` ete les donn´ ees physiques r´ eelles). De mˆ eme,
e c est une combinaison de l’erreur de discr´ etisation e n = x n − x, de l’erreur
induite par l’algorithme num´ erique, et enfin, de l’erreur d’arrondi e r introduite
par l’ordinateur au cours de la r´ esolution effective du probl` eme (2.12) (voir
Section 2.5).
On peut donc d´ egager, en g´ en´ eral, les sources d’erreurs suivantes :
1. les erreurs dues au mod` ele, qu’on peut contrˆ oler par un choix convenable
du mod` ele math´ ematique ;
2. les erreurs sur les donn´ ees, qui peuvent ˆ etre r´ eduites en am´ eliorant la
pr´ ecision des mesures ;
3. les erreurs de troncature, qui proviennent du fait qu’on a remplac´ e dans
le mod` ele num´ erique des passages ` a la limite par des op´ erations mettant
en jeu un nombre fini d’´ etapes ;
4. les erreurs d’arrondi.
Les erreurs des points 3 et 4 constituent l’erreur num´ erique. Une m´ ethode
num´ erique est convergente si cette erreur peut ˆ etre rendue arbitrairement
petite quand on augmente l’effort de calcul. Naturellement, la convergence est
le but principal – mais non unique – d’une m´ ethode num´ erique ; les autres
´ etant la pr´ ecision, la fiabilit´ e et l’efficacit´ e.
La pr´ ecision signifie que les erreurs sont petites par rapport `
a une tol´ erance fix´ ee. On la mesure g´ en´ eralement par l’ordre infinit´ esimal de l’erreur
e n par rapport au param` etre caract´ eristique de discr´ etisation (par exemple
la distance la plus grande entre les noeuds de discr´ etisation). On notera en
passant que la pr´ ecision de la machine ne limite pas, sur le plan th´ eorique, la
pr´ ecision de la m´ ethode.
La fiabilit´ e signifie qu’il est possible de garantir que l’erreur globale se situe
en dessous d’une certaine tol´ erance. Naturellement, un mod` ele num´ erique peut
ˆ etre consid´ er´ e comme fiable seulement s’il a ´ et´ e convenablement test´ e, c’est` a-dire valid´ e par plusieurs cas tests.