13.12 Un mod` ele hyperbolique pour l’interaction du sang avec la paroi art´ erielle
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domaine d’int´ egration est le cylindre en espace-temps ]0, 1[×]0, 1[ et le terme
source est f = (1 + π
2 γ
2 )e
−t sin(πx) de sorte que la solution exacte est
u(x, t) = e
−t sin(πx). La Table 13.5 contient les estimations des ordres de
convergence des deux m´ ethodes, not´ ees respectivement p SM et p NW .
Pour calculer ces quantit´ es, on a d’abord r´ esolu l’´ equation des ondes sur
quatre grilles de pas ∆x = ∆t = 1/(2
k
· 10), k = 0, . . ., 3. On note u
(k)
h
la
solution num´ erique obtenue sur la k-` eme grille, et pour j = 1, . . . , 10, on note
t
(0)
j = j/10 les noeuds de discr´ etisation en temps de la grille la plus grossi` ere
k = 0. Pour k = 0, . . ., 3, on a alors ´ evalu´ e les erreurs nodales maximales
e
k
j sur la k-` eme grille en espace aux temps t
(0)
j . On a alors estim´ e l’ordre de
convergence p
(k)
j
par
p
(k)
j
=
log(e
0
j /e
k
j )
log(2 k )
,
k = 1, 2, 3.
Conform´ ement aux r´ esultats th´ eoriques, les deux m´ ethodes pr´ esentent une
convergence d’ordre 2.
Table 13.5. Estimation des ordres de convergence pour le sch´ ema saute-mouton
(SM) et le sch´ ema de Newmark (NW)
t
(0)
j
p
(1)
SM
p
(2)
SM
p
(3)
SM
0.1 2.0344 2.0215 2.0151
0.2 2.0223 2.0139 2.0097
0.3 2.0170 2.0106 2.0074
0.4 2.0139 2.0087 2.0061
0.5 2.0117 2.0073 2.0051
0.6 2.0101 2.0063 2.0044
0.7 2.0086 2.0054 2.0038
0.8 2.0073 2.0046 2.0032
0.9 2.0059 2.0037 2.0026
1.0 2.0044 2.0028 2.0019
t
(0)
j
p
(1)
NW
p
(2)
NW
p
(3)
NW
0.1 1.9549 1.9718 1.9803
0.2 1.9701 1.9813 1.9869
0.3 1.9754 1.9846 1.9892
0.4 1.9791 1.9869 1.9909
0.5 1.9827 1.9892 1.9924
0.6 1.9865 1.9916 1.9941
0.7 1.9910 1.9944 1.9961
0.8 1.9965 1.9979 1.9985
0.9 2.0034 2.0022 2.0015
1.0 2.0125 2.0079 2.0055
Dans la seconde s´ erie d’exp´ eriences, on a pris γ
2 = σ z /(ρ w H) avec σ z = 1
[Kgs
−2 ], et f = (x∆p · sin(ω 0 t))/(ρ w H). Les param` etres ρ w , H et L sont
les mˆ emes qu’` a la Section 13.8. Le domaine en espace-temps est ]0, L[×]0, T [,
avec T = 1 [s].
On a d’abord utilis´ e le sch´ ema de Newmark avec ∆x = L/10 et ∆t =
T /100 ; la valeur correspondante de γλ est 3.6515, o` u λ = ∆t/∆x. Comme
le sch´ ema de Newmark est inconditionnellement stable, on ne s’attend pas `
a
des oscillations parasites, ce qui est confirm´ e par la Figure 13.19, ` a gauche.
Remarquer que la solution a un comportement p´ eriodique correct, avec une
p´ eriode correspondant `
a un battement cardiaque. Remarquer aussi qu’avec
ces valeurs de ∆t et ∆x, la condition de CFL n’est pas satisfaite ; on ne peut
donc pas utiliser le sch´ ema saute-mouton. Pour surmonter ce probl` eme, on a
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domaine d’int´ egration est le cylindre en espace-temps ]0, 1[×]0, 1[ et le terme
source est f = (1 + π
2 γ
2 )e
−t sin(πx) de sorte que la solution exacte est
u(x, t) = e
−t sin(πx). La Table 13.5 contient les estimations des ordres de
convergence des deux m´ ethodes, not´ ees respectivement p SM et p NW .
Pour calculer ces quantit´ es, on a d’abord r´ esolu l’´ equation des ondes sur
quatre grilles de pas ∆x = ∆t = 1/(2
k
· 10), k = 0, . . ., 3. On note u
(k)
h
la
solution num´ erique obtenue sur la k-` eme grille, et pour j = 1, . . . , 10, on note
t
(0)
j = j/10 les noeuds de discr´ etisation en temps de la grille la plus grossi` ere
k = 0. Pour k = 0, . . ., 3, on a alors ´ evalu´ e les erreurs nodales maximales
e
k
j sur la k-` eme grille en espace aux temps t
(0)
j . On a alors estim´ e l’ordre de
convergence p
(k)
j
par
p
(k)
j
=
log(e
0
j /e
k
j )
log(2 k )
,
k = 1, 2, 3.
Conform´ ement aux r´ esultats th´ eoriques, les deux m´ ethodes pr´ esentent une
convergence d’ordre 2.
Table 13.5. Estimation des ordres de convergence pour le sch´ ema saute-mouton
(SM) et le sch´ ema de Newmark (NW)
t
(0)
j
p
(1)
SM
p
(2)
SM
p
(3)
SM
0.1 2.0344 2.0215 2.0151
0.2 2.0223 2.0139 2.0097
0.3 2.0170 2.0106 2.0074
0.4 2.0139 2.0087 2.0061
0.5 2.0117 2.0073 2.0051
0.6 2.0101 2.0063 2.0044
0.7 2.0086 2.0054 2.0038
0.8 2.0073 2.0046 2.0032
0.9 2.0059 2.0037 2.0026
1.0 2.0044 2.0028 2.0019
t
(0)
j
p
(1)
NW
p
(2)
NW
p
(3)
NW
0.1 1.9549 1.9718 1.9803
0.2 1.9701 1.9813 1.9869
0.3 1.9754 1.9846 1.9892
0.4 1.9791 1.9869 1.9909
0.5 1.9827 1.9892 1.9924
0.6 1.9865 1.9916 1.9941
0.7 1.9910 1.9944 1.9961
0.8 1.9965 1.9979 1.9985
0.9 2.0034 2.0022 2.0015
1.0 2.0125 2.0079 2.0055
Dans la seconde s´ erie d’exp´ eriences, on a pris γ
2 = σ z /(ρ w H) avec σ z = 1
[Kgs
−2 ], et f = (x∆p · sin(ω 0 t))/(ρ w H). Les param` etres ρ w , H et L sont
les mˆ emes qu’` a la Section 13.8. Le domaine en espace-temps est ]0, L[×]0, T [,
avec T = 1 [s].
On a d’abord utilis´ e le sch´ ema de Newmark avec ∆x = L/10 et ∆t =
T /100 ; la valeur correspondante de γλ est 3.6515, o` u λ = ∆t/∆x. Comme
le sch´ ema de Newmark est inconditionnellement stable, on ne s’attend pas `
a
des oscillations parasites, ce qui est confirm´ e par la Figure 13.19, ` a gauche.
Remarquer que la solution a un comportement p´ eriodique correct, avec une
p´ eriode correspondant `
a un battement cardiaque. Remarquer aussi qu’avec
ces valeurs de ∆t et ∆x, la condition de CFL n’est pas satisfaite ; on ne peut
donc pas utiliser le sch´ ema saute-mouton. Pour surmonter ce probl` eme, on a