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13 Applications
sous-intervalle [a, b] ⊆ [0, 1] et 0 ` a l’ext´ erieur de [a, b]. La donn´ ee initiale est
donc une fonction discontinue.
On a utilis´ e le θ-sch´ ema avec θ = 0.5 (m´ ethode de Crank-Nicolson) et
θ = 1 (m´ ethode d’Euler implicite). On a ex´ ecut´ e le Programme 88 avec h =
1/20, ∆t = 1/40 et on a repr´ esent´ e les solutions obtenues au temps t = 2
sur la Figure 13.18. La m´ ethode de Crank-Nicolson souffre d’une instabilit´ e
due au manque de r´ egularit´ e de la donn´ ee initiale (` a ce sujet, voir [QV94],
Chapitre 11). Au contraire, la m´ ethode d’Euler implicite donne une solution
stable qui d´ ecroˆ ıt correctement vers z´ ero quand t augmente (le terme source
f ´ etant nul).
Fig. 13.18. Solutions pour un probl` eme parabolique avec donn´ ee initiale discontinue : m´ ethode de Crank-Nicolson (` a gauche) et d’Euler implicite (` a droite)
13.12 Un mod` ele hyperbolique pour l’interaction
du sang avec la paroi art´ erielle
On consid` ere ` a nouveau le probl` eme d’interaction fluide-structure dans une
art` ere cylindrique vu `
a la Section 13.8 (o` u on avait adopt´ e le mod` ele simple
des anneaux ind´ ependants).
On note z la coordonn´ ee longitudinale. Si on ne n´ eglige plus l’interaction
axiale entre les anneaux, l’´ equation (13.25) devient
ρ w H
∂
2 η
∂t 2 − σ z
∂
2 η
∂z 2 +
HE
R 2
0
η = P − P 0 , t > 0, 0 < z < L,
(13.28)
o` u σ z est la composante radiale de la contrainte axiale et L est la longueur du
cylindre consid´ er´ e. En particulier, en n´ egligeant le troisi` eme terme du membre
de gauche et en posant γ
2 = σ z /(ρ w H), f = (P − P 0 )/(ρ w H), on retrouve
l’´ equation des ondes (12.31).
On a effectu´ e deux s´ eries d’exp´ eriences num´ eriques avec le sch´ ema sautemouton (SM) et le sch´ ema de Newmark (NW). Dans la premi` ere s´ erie, le
13 Applications
sous-intervalle [a, b] ⊆ [0, 1] et 0 ` a l’ext´ erieur de [a, b]. La donn´ ee initiale est
donc une fonction discontinue.
On a utilis´ e le θ-sch´ ema avec θ = 0.5 (m´ ethode de Crank-Nicolson) et
θ = 1 (m´ ethode d’Euler implicite). On a ex´ ecut´ e le Programme 88 avec h =
1/20, ∆t = 1/40 et on a repr´ esent´ e les solutions obtenues au temps t = 2
sur la Figure 13.18. La m´ ethode de Crank-Nicolson souffre d’une instabilit´ e
due au manque de r´ egularit´ e de la donn´ ee initiale (` a ce sujet, voir [QV94],
Chapitre 11). Au contraire, la m´ ethode d’Euler implicite donne une solution
stable qui d´ ecroˆ ıt correctement vers z´ ero quand t augmente (le terme source
f ´ etant nul).
Fig. 13.18. Solutions pour un probl` eme parabolique avec donn´ ee initiale discontinue : m´ ethode de Crank-Nicolson (` a gauche) et d’Euler implicite (` a droite)
13.12 Un mod` ele hyperbolique pour l’interaction
du sang avec la paroi art´ erielle
On consid` ere ` a nouveau le probl` eme d’interaction fluide-structure dans une
art` ere cylindrique vu `
a la Section 13.8 (o` u on avait adopt´ e le mod` ele simple
des anneaux ind´ ependants).
On note z la coordonn´ ee longitudinale. Si on ne n´ eglige plus l’interaction
axiale entre les anneaux, l’´ equation (13.25) devient
ρ w H
∂
2 η
∂t 2 − σ z
∂
2 η
∂z 2 +
HE
R 2
0
η = P − P 0 , t > 0, 0 < z < L,
(13.28)
o` u σ z est la composante radiale de la contrainte axiale et L est la longueur du
cylindre consid´ er´ e. En particulier, en n´ egligeant le troisi` eme terme du membre
de gauche et en posant γ
2 = σ z /(ρ w H), f = (P − P 0 )/(ρ w H), on retrouve
l’´ equation des ondes (12.31).
On a effectu´ e deux s´ eries d’exp´ eriences num´ eriques avec le sch´ ema sautemouton (SM) et le sch´ ema de Newmark (NW). Dans la premi` ere s´ erie, le