13.11 Conduction thermique dans une barre
513
o` u H est une hauteur fix´ ee ` a laquelle on suppose que le flux total −νu
+ βu
s’annule (voir Section 11.3.1). Des valeurs r´ ealistes des coefficients sont ν =
10 m
2 s
−1 et β = −0.03 ms
−1 ; dans les simulations num´ eriques, on a pris une
concentration u 0 de 1 grain de pollen par m
3 , et une hauteur H de 10 km. Le
nombre de P´ eclet global est donc Pe gl = |β|H/(2ν| = 15.
On a approch´ e (13.27) avec une m´ ethode d’´ el´ ements finis affines. La Figure 13.17 (` a gauche) montre la solution calcul´ ee avec le Programme 82 sur un
maillage uniforme avec un pas d’espace h = H/10. La solution obtenue avec la
m´ ethode de Galerkin non stabilis´ ee (G) est repr´ esent´ ee en trait plein. Les solutions obtenues avec les m´ ethodes de stabilisation de Scharfetter-Gummel (SG)
et d´ ecentr´ ee (UP pour upwind en anglais) sont repr´ esent´ ees respectivement
avec des traits mixtes et des traits discontinus.
On remarque des oscillations parasites dans la solution G. La solution UP
est trop diffus´ ee alors que la solution SG est exacte aux noeuds. Le nombre
de P´ eclet local vaut 1.5 dans ce cas. En prenant h = H/100, la m´ ethode de
Galerkin pure est stable, comme le montre la Figure 13.17 (` a droite) o` u sont
repr´ esent´ ees les solutions G (trait plein) et UP (trait discontinu).
0
2000
4000
6000
8000
10000
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
200
400
600
800 1000 1200 1400 1600 1800
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 13.17. Concentration verticale de spores : solutions G, SG et UP avec h = H/10
(` a gauche) et h = H/100 (` a droite, o` u seul l’intervalle [0, 2000] est consid´ er´ e). L’axe
des x repr´ esente la position verticale
13.11 Conduction thermique dans une barre
On consid` ere une barre homog` ene de longueur 1 et de conductivit´ e thermique
ν, dont les extr´ emit´ es ont une temp´ erature fix´ ee ` a u = 0. Soit u 0 (x) la temp´ erature le long de la barre au temps t = 0 et f = f(x, t) un terme mod´ elisant
une source de chaleur. L’´ evolution en temps de la temp´ erature u = u(x, t) de
la barre est mod´ elis´ ee par le probl` eme aux donn´ ees initiales (12.1)-(12.4).
On consid` ere le cas o` u f = 0 et on augmente brutalement la temp´ erature
de la barre au point 1/2. On peut mod´ eliser grossi` erement cette situation en
prenant par exemple u 0 = K, o` u K est une constante positive donn´ ee, sur un
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o` u H est une hauteur fix´ ee ` a laquelle on suppose que le flux total −νu
+ βu
s’annule (voir Section 11.3.1). Des valeurs r´ ealistes des coefficients sont ν =
10 m
2 s
−1 et β = −0.03 ms
−1 ; dans les simulations num´ eriques, on a pris une
concentration u 0 de 1 grain de pollen par m
3 , et une hauteur H de 10 km. Le
nombre de P´ eclet global est donc Pe gl = |β|H/(2ν| = 15.
On a approch´ e (13.27) avec une m´ ethode d’´ el´ ements finis affines. La Figure 13.17 (` a gauche) montre la solution calcul´ ee avec le Programme 82 sur un
maillage uniforme avec un pas d’espace h = H/10. La solution obtenue avec la
m´ ethode de Galerkin non stabilis´ ee (G) est repr´ esent´ ee en trait plein. Les solutions obtenues avec les m´ ethodes de stabilisation de Scharfetter-Gummel (SG)
et d´ ecentr´ ee (UP pour upwind en anglais) sont repr´ esent´ ees respectivement
avec des traits mixtes et des traits discontinus.
On remarque des oscillations parasites dans la solution G. La solution UP
est trop diffus´ ee alors que la solution SG est exacte aux noeuds. Le nombre
de P´ eclet local vaut 1.5 dans ce cas. En prenant h = H/100, la m´ ethode de
Galerkin pure est stable, comme le montre la Figure 13.17 (` a droite) o` u sont
repr´ esent´ ees les solutions G (trait plein) et UP (trait discontinu).
0
2000
4000
6000
8000
10000
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
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600
800 1000 1200 1400 1600 1800
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0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
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Fig. 13.17. Concentration verticale de spores : solutions G, SG et UP avec h = H/10
(` a gauche) et h = H/100 (` a droite, o` u seul l’intervalle [0, 2000] est consid´ er´ e). L’axe
des x repr´ esente la position verticale
13.11 Conduction thermique dans une barre
On consid` ere une barre homog` ene de longueur 1 et de conductivit´ e thermique
ν, dont les extr´ emit´ es ont une temp´ erature fix´ ee ` a u = 0. Soit u 0 (x) la temp´ erature le long de la barre au temps t = 0 et f = f(x, t) un terme mod´ elisant
une source de chaleur. L’´ evolution en temps de la temp´ erature u = u(x, t) de
la barre est mod´ elis´ ee par le probl` eme aux donn´ ees initiales (12.1)-(12.4).
On consid` ere le cas o` u f = 0 et on augmente brutalement la temp´ erature
de la barre au point 1/2. On peut mod´ eliser grossi` erement cette situation en
prenant par exemple u 0 = K, o` u K est une constante positive donn´ ee, sur un