512
13 Applications
Pour les simulations num´ eriques, on suppose que la pi` ece m´ ecanique en forme
de convergeant-divergeant est de longueur 1 et de surface s(x) = 1 − 3/2x +
9/8x
2 avec µ = 1.
La Figure 13.16 (` a droite) montre la solution obtenue avec des ´ el´ ements
finis lin´ eaires et quadratiques sur un maillage uniforme avec un pas d’espace
h = 0.2. Le syst` eme lin´ eaire est r´ esolu avec la m´ ethode du gradient conjugu´ e
non pr´ econditionn´ e. Pour rendre la norme euclidienne du r´ esidu inf´ erieure ` a
10
−10 , il faut 4 it´ erations avec des ´ el´ ements affines et 9 it´ erations avec des
´ el´ ements quadratiques.
La Table 13.4 pr´ esente des estimations num´ eriques du conditionnement
K 2 (A fe ) en fonction de h. On a not´ e les matrices A 1 (resp. A 2 ) dans le cas
affine (resp. quadratique). On cherche `
a exprimer le conditionnement sous la
forme h
−p quand h tend vers z´ ero ; les nombres p i sont des valeurs estim´ ees
de p. On constate que dans les deux cas, le conditionnement croˆ ıt comme h
−2 ,
cependant, `
a h fix´ e, K 2 (A 2 ) est beaucoup plus grand que K 2 (A 1 ).
Table 13.4. Conditionnement de la matrice de raideur pour des ´ el´ ements finis affines
et quadratiques
h K 2 (A 1 )
p 1
K 2 (A 2 )
p 2
0.10000
63.951
–
455.24
0.05000
348.21 2.444
2225.7 2.28
0.02500
1703.7 2.290
10173.3 2.19
0.01250
7744.6 2.184
44329.6 2.12
0.00625
33579 2.116 187195.2 2.07
13.10 Distribution verticale d’une concentration
de spores sur des grandes r´ egions
Nous nous int´ eressons dans cette section ` a la diffusion et au transport de
spores dans l’air, tels que les endospores de bact´ eries ou les pollens de fleurs.
Nous ´ etudions la distribution verticale de concentration sur une zone ´ etendue
en supposant que les spores diffusent passivement dans l’atmosph` ere et ne
sont soumis qu’` a la gravit´ e.
Dans un mod` ele simple, on suppose que la diffusivit´ e ν et la vitesse de
transport β sont des constantes connues et on moyenne divers ph´ enom` enes
physiques locaux comme la convection `
a faible ´ echelle ainsi que le transport
horizontal et la diffusion horizontale. On note x ≥ 0 la position verticale, la
concentration u(x) de spores ` a l’´ equilibre est solution de
−νu
+ βu
= 0,
0 < x < H,
u(0) = u 0 ,
−νu
(H) + βu(H) = 0,
(13.27)
13 Applications
Pour les simulations num´ eriques, on suppose que la pi` ece m´ ecanique en forme
de convergeant-divergeant est de longueur 1 et de surface s(x) = 1 − 3/2x +
9/8x
2 avec µ = 1.
La Figure 13.16 (` a droite) montre la solution obtenue avec des ´ el´ ements
finis lin´ eaires et quadratiques sur un maillage uniforme avec un pas d’espace
h = 0.2. Le syst` eme lin´ eaire est r´ esolu avec la m´ ethode du gradient conjugu´ e
non pr´ econditionn´ e. Pour rendre la norme euclidienne du r´ esidu inf´ erieure ` a
10
−10 , il faut 4 it´ erations avec des ´ el´ ements affines et 9 it´ erations avec des
´ el´ ements quadratiques.
La Table 13.4 pr´ esente des estimations num´ eriques du conditionnement
K 2 (A fe ) en fonction de h. On a not´ e les matrices A 1 (resp. A 2 ) dans le cas
affine (resp. quadratique). On cherche `
a exprimer le conditionnement sous la
forme h
−p quand h tend vers z´ ero ; les nombres p i sont des valeurs estim´ ees
de p. On constate que dans les deux cas, le conditionnement croˆ ıt comme h
−2 ,
cependant, `
a h fix´ e, K 2 (A 2 ) est beaucoup plus grand que K 2 (A 1 ).
Table 13.4. Conditionnement de la matrice de raideur pour des ´ el´ ements finis affines
et quadratiques
h K 2 (A 1 )
p 1
K 2 (A 2 )
p 2
0.10000
63.951
–
455.24
0.05000
348.21 2.444
2225.7 2.28
0.02500
1703.7 2.290
10173.3 2.19
0.01250
7744.6 2.184
44329.6 2.12
0.00625
33579 2.116 187195.2 2.07
13.10 Distribution verticale d’une concentration
de spores sur des grandes r´ egions
Nous nous int´ eressons dans cette section ` a la diffusion et au transport de
spores dans l’air, tels que les endospores de bact´ eries ou les pollens de fleurs.
Nous ´ etudions la distribution verticale de concentration sur une zone ´ etendue
en supposant que les spores diffusent passivement dans l’atmosph` ere et ne
sont soumis qu’` a la gravit´ e.
Dans un mod` ele simple, on suppose que la diffusivit´ e ν et la vitesse de
transport β sont des constantes connues et on moyenne divers ph´ enom` enes
physiques locaux comme la convection `
a faible ´ echelle ainsi que le transport
horizontal et la diffusion horizontale. On note x ≥ 0 la position verticale, la
concentration u(x) de spores ` a l’´ equilibre est solution de
−νu
+ βu
= 0,
0 < x < H,
u(0) = u 0 ,
−νu
(H) + βu(H) = 0,
(13.27)