13.9 Lubrification d’une pi` ece m´ ecanique
511
oscillante. Au contraire, la m´ ethode BE donne
y
BE
k
=
1
1 − hλ 1
k
(0.9090)
k , z
CN
k
=
1
1 − hλ 2
k
(0.2777)
k , k ≥ 0,
qui sont toutes les deux stables pour tout h > 0. Conform´ ement ` a ces conclusions, on constate sur la Figure 13.15 (` a droite) que la premi` ere composante y
du vecteur solution y est correctement approch´ ee par les deux m´ ethodes. Le
trait plein correspond `
a BE et le trait discontinu `
a CN.
13.9 Lubrification d’une pi` ece m´ ecanique
On consid` ere une pi` ece m´ ecanique rigide se d´ epla¸ cant dans la direction x le
long d’un support physique suppos´ e infini. La pi` ece est s´ epar´ ee du support
par une fine couche d’un liquide visqueux (le lubrifiant). On suppose que la
pi` ece, de longueur L, se d´ eplace avec la vitesse U par rapport au support. La
surface de la pi` ece qui fait face au support est d´ ecrite par la fonction s (voir
Figure 13.16, ` a gauche).
L
s(x)
U
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Fig. 13.16. Caract´ eristique g´ eom´ etrique de la pi` ece m´ ecanique consid´ er´ ee ` a la Section 13.9 (` a gauche) ; pression sur une pi` ece en forme de convergeant-divergeant. Le
trait plein correspond `
a la solution obtenue avec des ´ el´ ements finis quadratiques,
les symboles ◦ correspondent aux valeurs nodales de la solution obtenue avec des
´ el´ ements finis affines (` a droite)
En notant µ la viscosit´ e du lubrifiant, la pression p agissant sur la pi` ece m´ ecanique peut ˆ etre mod´ elis´ ee par le probl` eme de Dirichlet suivant :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−
s
3
6µ
p
= −(U s)
,
x ∈]0, L[,
p(0) = 0,
p(L) = 0.
511
oscillante. Au contraire, la m´ ethode BE donne
y
BE
k
=
1
1 − hλ 1
k
(0.9090)
k , z
CN
k
=
1
1 − hλ 2
k
(0.2777)
k , k ≥ 0,
qui sont toutes les deux stables pour tout h > 0. Conform´ ement ` a ces conclusions, on constate sur la Figure 13.15 (` a droite) que la premi` ere composante y
du vecteur solution y est correctement approch´ ee par les deux m´ ethodes. Le
trait plein correspond `
a BE et le trait discontinu `
a CN.
13.9 Lubrification d’une pi` ece m´ ecanique
On consid` ere une pi` ece m´ ecanique rigide se d´ epla¸ cant dans la direction x le
long d’un support physique suppos´ e infini. La pi` ece est s´ epar´ ee du support
par une fine couche d’un liquide visqueux (le lubrifiant). On suppose que la
pi` ece, de longueur L, se d´ eplace avec la vitesse U par rapport au support. La
surface de la pi` ece qui fait face au support est d´ ecrite par la fonction s (voir
Figure 13.16, ` a gauche).
L
s(x)
U
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Fig. 13.16. Caract´ eristique g´ eom´ etrique de la pi` ece m´ ecanique consid´ er´ ee ` a la Section 13.9 (` a gauche) ; pression sur une pi` ece en forme de convergeant-divergeant. Le
trait plein correspond `
a la solution obtenue avec des ´ el´ ements finis quadratiques,
les symboles ◦ correspondent aux valeurs nodales de la solution obtenue avec des
´ el´ ements finis affines (` a droite)
En notant µ la viscosit´ e du lubrifiant, la pression p agissant sur la pi` ece m´ ecanique peut ˆ etre mod´ elis´ ee par le probl` eme de Dirichlet suivant :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−
s
3
6µ
p
= −(U s)
,
x ∈]0, L[,
p(0) = 0,
p(L) = 0.