13.8 Mouvements de la paroi art´ erielle
509
se trouvent d’autres organes. Au repos, quand p = p 0 , l’art` ere a une configuration cylindrique de rayon R 0 (y = 0).
On peut ´ ecrire l’´ equation (13.25) sous la forme y
(t) = Ay(t) + b(t) o` u
y = [y, y
]
T , b = [0, −γ(p − p 0 )]
T et
A =
0
1
−α −β
.
(13.26)
Les valeurs propres de A sont λ ± = (−β ±
β 2 − 4α)/2 ; donc, si β ≥ 2
√
α,
les deux valeurs propres sont n´ egatives et le syst` eme est asymptotiquement
stable, avec y(t) d´ ecroissant exponentiellement vers z´ ero quand t → ∞. Si 0 <
β < 2
√
α, les valeurs propres sont complexes conjugu´ ees et il se produit des
oscillations amorties qui tendent exponentiellement vers z´ ero quand t → ∞.
Les tests num´ eriques ont ´ et´ e effectu´ es avec les m´ ethodes d’Euler r´ etrograde
(BE pour backward Euler ) et de Crank-Nicolson (CN). On a pos´ e y(t) = 0
et on a pris les valeurs (r´ ealistes) suivantes pour les param` etres physiques :
L = 5 · 10
−2 [m], R 0 = 5 · 10
−3 [m], ρ w = 10
3 [Kgm
−3 ], H = 3 · 10
−4 [m]
et E = 9 · 10
5 [N m
−2 ], d’o` u γ 3.3[Kg
−1 m
−2 ] et α = 36 · 10
6 [s
−2 ]. Une
fonction sinuso¨ ıdale p − p 0 = x∆p(a + b cos(ω 0 t)) a ´ et´ e utilis´ ee pour mod´ eliser
la variation de pression le long du vaisseau en fonction de x et du temps, avec
∆p = 0.25 · 133.32 [N m
−2 ], a = 10 · 133.32 [N m
−2 ], b = 133.32 [N m
−2 ] et
une pulsation ω 0 = 2π/0.8 [rads
−1 ] qui correspond au battement cardiaque.
Les r´ esultats pr´ esent´ es ci-dessous correspondent ` a la coordonn´ ee x = L/2.
On a analys´ e deux cas (tr` es diff´ erents) correspondant ` a (1) β =
√
α [s
−1 ] et
(2) β = α [s
−1 ] ; on v´ erifie facilement que le quotient de raideur (voir Section
10.10) du cas (2) est presque ´ egal ` a α ; le probl` eme est donc tr` es raide. On
remarque ´ egalement que, dans les deux cas, les parties r´ eelles des valeurs
propres de A sont tr` es grandes. Le pas de temps doit donc ˆ etre tr` es petit pour
pouvoir d´ ecrire avec pr´ ecision l’´ evolution rapide du syst` eme.
Dans le cas (1), on a ´ etudi´ e le syst` eme diff´ erentiel sur l’intervalle de temps
[0, 2.5 · 10
−3 ] avec un pas de temps h = 10
−4 . Les valeurs propres de A ayant
un module ´ egal ` a 6000, notre choix de h nous permettrait d’utiliser aussi bien
une m´ ethode explicite.
La Figure 13.14 (` a gauche) montre les solutions num´ eriques et la solution
exacte en fonction du temps. Le trait plein fin correspond `
a la solution exacte,
le trait discontinu `
a la solution donn´ ee par CN et le trait plein ´ epais ` a celle
donn´ ee par BE. On note clairement une bien meilleure pr´ ecision pour CN ;
ceci est confirm´ e par la courbe de la Figure 13.14 (` a droite) qui montre les
trajectoires de la solution calcul´ ee dans l’espace de phase. Dans ce cas, le
syst` eme diff´ erentiel a ´ et´ e int´ egr´ e sur l’intervalle [0, 0.25] avec un pas de temps
h = 2.5 · 10
−4 . Le trait discontinu est la trajectoire obtenue avec CN et le
trait plein est celle obtenue avec BE. Le sch´ ema BE introduit clairement une
dissipation beaucoup plus forte que celle introduite par CN ; le trac´ e montre
509
se trouvent d’autres organes. Au repos, quand p = p 0 , l’art` ere a une configuration cylindrique de rayon R 0 (y = 0).
On peut ´ ecrire l’´ equation (13.25) sous la forme y
(t) = Ay(t) + b(t) o` u
y = [y, y
]
T , b = [0, −γ(p − p 0 )]
T et
A =
0
1
−α −β
.
(13.26)
Les valeurs propres de A sont λ ± = (−β ±
β 2 − 4α)/2 ; donc, si β ≥ 2
√
α,
les deux valeurs propres sont n´ egatives et le syst` eme est asymptotiquement
stable, avec y(t) d´ ecroissant exponentiellement vers z´ ero quand t → ∞. Si 0 <
β < 2
√
α, les valeurs propres sont complexes conjugu´ ees et il se produit des
oscillations amorties qui tendent exponentiellement vers z´ ero quand t → ∞.
Les tests num´ eriques ont ´ et´ e effectu´ es avec les m´ ethodes d’Euler r´ etrograde
(BE pour backward Euler ) et de Crank-Nicolson (CN). On a pos´ e y(t) = 0
et on a pris les valeurs (r´ ealistes) suivantes pour les param` etres physiques :
L = 5 · 10
−2 [m], R 0 = 5 · 10
−3 [m], ρ w = 10
3 [Kgm
−3 ], H = 3 · 10
−4 [m]
et E = 9 · 10
5 [N m
−2 ], d’o` u γ 3.3[Kg
−1 m
−2 ] et α = 36 · 10
6 [s
−2 ]. Une
fonction sinuso¨ ıdale p − p 0 = x∆p(a + b cos(ω 0 t)) a ´ et´ e utilis´ ee pour mod´ eliser
la variation de pression le long du vaisseau en fonction de x et du temps, avec
∆p = 0.25 · 133.32 [N m
−2 ], a = 10 · 133.32 [N m
−2 ], b = 133.32 [N m
−2 ] et
une pulsation ω 0 = 2π/0.8 [rads
−1 ] qui correspond au battement cardiaque.
Les r´ esultats pr´ esent´ es ci-dessous correspondent ` a la coordonn´ ee x = L/2.
On a analys´ e deux cas (tr` es diff´ erents) correspondant ` a (1) β =
√
α [s
−1 ] et
(2) β = α [s
−1 ] ; on v´ erifie facilement que le quotient de raideur (voir Section
10.10) du cas (2) est presque ´ egal ` a α ; le probl` eme est donc tr` es raide. On
remarque ´ egalement que, dans les deux cas, les parties r´ eelles des valeurs
propres de A sont tr` es grandes. Le pas de temps doit donc ˆ etre tr` es petit pour
pouvoir d´ ecrire avec pr´ ecision l’´ evolution rapide du syst` eme.
Dans le cas (1), on a ´ etudi´ e le syst` eme diff´ erentiel sur l’intervalle de temps
[0, 2.5 · 10
−3 ] avec un pas de temps h = 10
−4 . Les valeurs propres de A ayant
un module ´ egal ` a 6000, notre choix de h nous permettrait d’utiliser aussi bien
une m´ ethode explicite.
La Figure 13.14 (` a gauche) montre les solutions num´ eriques et la solution
exacte en fonction du temps. Le trait plein fin correspond `
a la solution exacte,
le trait discontinu `
a la solution donn´ ee par CN et le trait plein ´ epais ` a celle
donn´ ee par BE. On note clairement une bien meilleure pr´ ecision pour CN ;
ceci est confirm´ e par la courbe de la Figure 13.14 (` a droite) qui montre les
trajectoires de la solution calcul´ ee dans l’espace de phase. Dans ce cas, le
syst` eme diff´ erentiel a ´ et´ e int´ egr´ e sur l’intervalle [0, 0.25] avec un pas de temps
h = 2.5 · 10
−4 . Le trait discontinu est la trajectoire obtenue avec CN et le
trait plein est celle obtenue avec BE. Le sch´ ema BE introduit clairement une
dissipation beaucoup plus forte que celle introduite par CN ; le trac´ e montre