508
13 Applications
La seconde courbe montre l’effet de la r´ egularisation sur la solution ; noter
que l’att´ enuation des oscillations est obtenue au prix d’un l´ eger ´ etalement de
la distribution de probabilit´ e initiale (en forme de marche).
Pour finir, on effectue la mˆ eme analyse en partant d’une donn´ ee initiale
r´ eguli` ere. On choisit pour cela une densit´ e de probabilit´ e initiale w gaussienne
telle que w 2 = 1. La solution |ψ(x, t)|
2 , cette fois calcul´ ee sans r´ egularisation, est pr´ esent´ ee sur la Figure 13.13, pour t = 0, 2, 5, 7, 9[s]. Remarquer
l’absence d’oscillations parasites, contrairement au cas pr´ ec´ edent.
−10
−5
0
5
10
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Fig. 13.13. Densit´ e de probabilit´ e |ψ(x, t)|
2 en t = 0, 2, 5, 7, 9[s], correspondant `
a
une donn´ ee initiale gaussienne
13.8 Mouvements de la paroi art´ erielle
On peut mod´ eliser une art` ere par un cylindre souple de base circulaire, de longueur L, de rayon R 0 et dont la paroi, d’´ epaisseur H, est constitu´ ee d’un mat´ eriau ´ elastique incompressible, homog` ene et isotrope. On obtient un mod` ele
simple d´ ecrivant le comportement m´ ecanique de la paroi art´ erielle en interaction avec le sang en supposant que le cylindre est un assemblage d’anneaux
ind´ ependants les uns des autres. Ceci revient ` a n´ egliger les actions internes
longitudinales et axiales le long du vaisseau et `
a supposer que la paroi ne
se d´ eforme que suivant la direction radiale. Le rayon R du vaisseau est donc
donn´ e par R(t) = R 0 + y(t) o` u t est le temps et o` u y est le d´ eplacement radial
de l’anneau par rapport `
a un rayon de r´ ef´ erence R 0 . L’application de la loi de
Newton au syst` eme d’anneaux ind´ ependants conduit `
a l’´ equation mod´ elisant
le comportement m´ ecanique de la paroi au cours du temps :
y
(t) + βy
(t) + αy(t) = γ(p(t) − p 0 ),
(13.25)
o` u α = E/(ρ w R
2
0 ), γ = 1/(ρ w H) et β est une constante positive. Les param` etres physiques ρ w et E d´ esignent la densit´ e de la paroi art´ erielle et son
module de Young. La fonction p−p 0 repr´ esente la contrainte due `
a la diff´ erence
de pression entre l’int´ erieur de l’art` ere, o` u se trouve le sang, et l’ext´ erieur, o` u
13 Applications
La seconde courbe montre l’effet de la r´ egularisation sur la solution ; noter
que l’att´ enuation des oscillations est obtenue au prix d’un l´ eger ´ etalement de
la distribution de probabilit´ e initiale (en forme de marche).
Pour finir, on effectue la mˆ eme analyse en partant d’une donn´ ee initiale
r´ eguli` ere. On choisit pour cela une densit´ e de probabilit´ e initiale w gaussienne
telle que w 2 = 1. La solution |ψ(x, t)|
2 , cette fois calcul´ ee sans r´ egularisation, est pr´ esent´ ee sur la Figure 13.13, pour t = 0, 2, 5, 7, 9[s]. Remarquer
l’absence d’oscillations parasites, contrairement au cas pr´ ec´ edent.
−10
−5
0
5
10
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Fig. 13.13. Densit´ e de probabilit´ e |ψ(x, t)|
2 en t = 0, 2, 5, 7, 9[s], correspondant `
a
une donn´ ee initiale gaussienne
13.8 Mouvements de la paroi art´ erielle
On peut mod´ eliser une art` ere par un cylindre souple de base circulaire, de longueur L, de rayon R 0 et dont la paroi, d’´ epaisseur H, est constitu´ ee d’un mat´ eriau ´ elastique incompressible, homog` ene et isotrope. On obtient un mod` ele
simple d´ ecrivant le comportement m´ ecanique de la paroi art´ erielle en interaction avec le sang en supposant que le cylindre est un assemblage d’anneaux
ind´ ependants les uns des autres. Ceci revient ` a n´ egliger les actions internes
longitudinales et axiales le long du vaisseau et `
a supposer que la paroi ne
se d´ eforme que suivant la direction radiale. Le rayon R du vaisseau est donc
donn´ e par R(t) = R 0 + y(t) o` u t est le temps et o` u y est le d´ eplacement radial
de l’anneau par rapport `
a un rayon de r´ ef´ erence R 0 . L’application de la loi de
Newton au syst` eme d’anneaux ind´ ependants conduit `
a l’´ equation mod´ elisant
le comportement m´ ecanique de la paroi au cours du temps :
y
(t) + βy
(t) + αy(t) = γ(p(t) − p 0 ),
(13.25)
o` u α = E/(ρ w R
2
0 ), γ = 1/(ρ w H) et β est une constante positive. Les param` etres physiques ρ w et E d´ esignent la densit´ e de la paroi art´ erielle et son
module de Young. La fonction p−p 0 repr´ esente la contrainte due `
a la diff´ erence
de pression entre l’int´ erieur de l’art` ere, o` u se trouve le sang, et l’ext´ erieur, o` u