13.7 R´ esolution num´ erique de l’´ equation de Schr¨ odinger
507
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
ψ
k (t) = −i
2m
kπ
a
2
ψ k (t),
ψ k (0) =
w k .
(13.23)
Les coefficients {
w k } ont ´ et´ e calcul´ es en r´ egularisant les coefficients {
w k } de
la fonction “marche” w en utilisant la r´ egularisation de Lanczos :
σ k =
sin(2(k − N/2)(π/N ))
2(k − N/2)(π/N )
,
k= 0, . . . , N − 1.
Ceci a pour but d’´ eviter le ph´ enom` ene de Gibbs au voisinage des singularit´ es
de w. Ce proc´ ed´ e de r´ egularisation est connu sous le nom de filtre de Lanczos
(voir [CHQZ06], Chapitre 2).
Apr` es avoir r´ esolu (13.23), on obtient avec (13.22) l’expression de la fonction
d’onde
ψ N (x, t) =
N/2−1
k=−N/2
w k e
−iEk t/ e
iπkx/a ,
(13.24)
o` u les coefficients E k = (k
2 π
2
2 )/(2ma
2 ) repr´ esentent les ´ etats d’´ energie que
l’´ electron peut atteindre au cours de son d´ eplacement dans le puits de potentiel.
−10
−5
0
5
10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
−10
−5
0
5
10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Fig. 13.12. Densit´ e de probabilit´ e |ψ(x, t)|
2 en t = 0, 2, 5 [s], correspondant `
a la
donn´ ee initiale “marche d’escalier” : solution sans filtre (` a gauche), avec filtre de
Lanczos (` a droite)
Pour calculer les coefficients
w k (et donc
w k ), on a utilis´ e la fonction fft
de MATLAB (voir Section 9.9.1), avec N = 2
6 = 64 points et en posant
a = 10
◦
A= 10
−9 [m]. L’analyse en temps a ´ et´ e effectu´ ee jusqu’` a T = 10 [s],
avec un pas de temps de 1 [s] ; sur les graphes, l’unit´ e pour l’axe des x est [
◦
A],
et pour l’axe des y elle est respectivement de 10
5 [m
−1/2 ] et 10
10 [m
−1 ].
Sur la Figure 13.12, on a repr´ esent´ e la densit´ e de probabilit´ e |ψ(x, t)|
2 en
t = 0, 2 et 5 [s]. On montre `
a gauche le r´ esultat obtenu sans le proc´ ed´ e de r´ egularisation, et `
a droite le mˆ eme calcul avec “filtrage” des coefficients de Fourier.
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⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
ψ
k (t) = −i
2m
kπ
a
2
ψ k (t),
ψ k (0) =
w k .
(13.23)
Les coefficients {
w k } ont ´ et´ e calcul´ es en r´ egularisant les coefficients {
w k } de
la fonction “marche” w en utilisant la r´ egularisation de Lanczos :
σ k =
sin(2(k − N/2)(π/N ))
2(k − N/2)(π/N )
,
k= 0, . . . , N − 1.
Ceci a pour but d’´ eviter le ph´ enom` ene de Gibbs au voisinage des singularit´ es
de w. Ce proc´ ed´ e de r´ egularisation est connu sous le nom de filtre de Lanczos
(voir [CHQZ06], Chapitre 2).
Apr` es avoir r´ esolu (13.23), on obtient avec (13.22) l’expression de la fonction
d’onde
ψ N (x, t) =
N/2−1
k=−N/2
w k e
−iEk t/ e
iπkx/a ,
(13.24)
o` u les coefficients E k = (k
2 π
2
2 )/(2ma
2 ) repr´ esentent les ´ etats d’´ energie que
l’´ electron peut atteindre au cours de son d´ eplacement dans le puits de potentiel.
−10
−5
0
5
10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
−10
−5
0
5
10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Fig. 13.12. Densit´ e de probabilit´ e |ψ(x, t)|
2 en t = 0, 2, 5 [s], correspondant `
a la
donn´ ee initiale “marche d’escalier” : solution sans filtre (` a gauche), avec filtre de
Lanczos (` a droite)
Pour calculer les coefficients
w k (et donc
w k ), on a utilis´ e la fonction fft
de MATLAB (voir Section 9.9.1), avec N = 2
6 = 64 points et en posant
a = 10
◦
A= 10
−9 [m]. L’analyse en temps a ´ et´ e effectu´ ee jusqu’` a T = 10 [s],
avec un pas de temps de 1 [s] ; sur les graphes, l’unit´ e pour l’axe des x est [
◦
A],
et pour l’axe des y elle est respectivement de 10
5 [m
−1/2 ] et 10
10 [m
−1 ].
Sur la Figure 13.12, on a repr´ esent´ e la densit´ e de probabilit´ e |ψ(x, t)|
2 en
t = 0, 2 et 5 [s]. On montre `
a gauche le r´ esultat obtenu sans le proc´ ed´ e de r´ egularisation, et `
a droite le mˆ eme calcul avec “filtrage” des coefficients de Fourier.