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13 Applications
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Fig. 13.11. Distribution des noeuds de quadrature (` a gauche); densit´ e du pas
d’int´ egration pour l’approximation de l’int´ egrale
L
0
(αxe
−γx )/(x + β)dx (` a droite)
13.7 R´ esolution num´ erique de l’´ equation de Schr¨ odinger
Consid´ erons l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles suivante, issue de la m´ ecanique
quantique et connue sous le nom d’´ equation de Schr¨ odinger :
i
∂ψ
∂t
= −
2m
∂
2 ψ
∂x 2 ,
x∈ R,
t>0,
(13.21)
o` u d´ esigne la constante de Planck et o` u i
2 = −1. La fonction `
a valeurs
complexes ψ = ψ(x, t), solution de (13.21), est appel´ ee fonction d’onde et
la quantit´ e |ψ(x, t)|
2 d´ efinit la densit´ e de probabilit´ e qu’un ´ electron libre de
masse m se trouve en x au temps t (voir [FRL55]).
Le probl` eme de Cauchy correspondant mod´ elise le mouvement d’un ´ electron dans une cellule d’un r´ eseau infini (pour plus de d´ etails voir p. ex. [AF83]).
Consid´ erons la condition initiale ψ(x, 0) = w(x), o` u w est la fonction
“marche d’escalier” prenant la valeur 1/
√
2b pour |x| ≤ b et la valeur z´ ero
pour |x| > b, avec b = a/5, et o` u 2a repr´ esente la distance inter-ionique du
r´ eseau. On cherche des solutions p´ eriodiques, de p´ eriode 2a.
Nous allons montrer qu’on peut r´ esoudre (13.21) par analyse de Fourier.
On commence par ´ ecrire la s´ erie de Fourier de w et ψ (pour tout t > 0)
w(x) =
N/2−1
k=−N/2
w k e
iπkx/a ,
w k =
1
2a
a
−a
w(x)e
−iπkx/a dx,
ψ(x, t) =
N/2−1
k=−N/2
ψ k (t)e
iπkx/a ,
ψ k (t) =
1
2a
a
−a
ψ(x, t)e
−iπkx/a dx.
(13.22)
On substitue alors (13.22) dans (13.21), obtenant le probl` eme de Cauchy suivant pour les N premiers coefficients de Fourier
ψ k , avec k =
−N/2, . . . , N/2 − 1
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Fig. 13.11. Distribution des noeuds de quadrature (` a gauche); densit´ e du pas
d’int´ egration pour l’approximation de l’int´ egrale
L
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(αxe
−γx )/(x + β)dx (` a droite)
13.7 R´ esolution num´ erique de l’´ equation de Schr¨ odinger
Consid´ erons l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles suivante, issue de la m´ ecanique
quantique et connue sous le nom d’´ equation de Schr¨ odinger :
i
∂ψ
∂t
= −
2m
∂
2 ψ
∂x 2 ,
x∈ R,
t>0,
(13.21)
o` u d´ esigne la constante de Planck et o` u i
2 = −1. La fonction `
a valeurs
complexes ψ = ψ(x, t), solution de (13.21), est appel´ ee fonction d’onde et
la quantit´ e |ψ(x, t)|
2 d´ efinit la densit´ e de probabilit´ e qu’un ´ electron libre de
masse m se trouve en x au temps t (voir [FRL55]).
Le probl` eme de Cauchy correspondant mod´ elise le mouvement d’un ´ electron dans une cellule d’un r´ eseau infini (pour plus de d´ etails voir p. ex. [AF83]).
Consid´ erons la condition initiale ψ(x, 0) = w(x), o` u w est la fonction
“marche d’escalier” prenant la valeur 1/
√
2b pour |x| ≤ b et la valeur z´ ero
pour |x| > b, avec b = a/5, et o` u 2a repr´ esente la distance inter-ionique du
r´ eseau. On cherche des solutions p´ eriodiques, de p´ eriode 2a.
Nous allons montrer qu’on peut r´ esoudre (13.21) par analyse de Fourier.
On commence par ´ ecrire la s´ erie de Fourier de w et ψ (pour tout t > 0)
w(x) =
N/2−1
k=−N/2
w k e
iπkx/a ,
w k =
1
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w(x)e
−iπkx/a dx,
ψ(x, t) =
N/2−1
k=−N/2
ψ k (t)e
iπkx/a ,
ψ k (t) =
1
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ψ(x, t)e
−iπkx/a dx.
(13.22)
On substitue alors (13.22) dans (13.21), obtenant le probl` eme de Cauchy suivant pour les N premiers coefficients de Fourier
ψ k , avec k =
−N/2, . . . , N/2 − 1