13.6 Action du vent sur le mˆ at d’un voilier
505
Pour le calcul approch´ e de R, on a consid´ er´ e les formules composites
du point milieu, not´ ee dans la suite (MP), du trap` eze (TR), de CavalieriSimpson (CS), et `
a titre de comparaison la formule de quadrature adaptative
de Cavalieri-Simpson introduite `
a la Section 8.6.2, not´ ee (AD).
Pour les tests num´ eriques, on a pris α = 50, β = 5/3 et γ = 1/4, et on a
ex´ ecut´ e le Programme 65 avec tol=10
−4 et hmin=10
−3 .
0
20
40
60
80
100
120
10
−9
10
−8
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
(TR)
(PM)
(CS)
(AD)
Fig. 13.10. Erreurs relatives dans le calcul approch´ e de l’int´ egrale
L
0
(αxe
−γx )/(x+
β)dx
On a calcul´ e les suites d’int´ egrales ` a l’aide des formules composites avec m k =
2
k partitions uniformes de [0, L], pour k = 0, . . . , 12. Au-del` a de k = 12
(m k vaut alors 2
12 = 4096), dans le cas de CS, les chiffres significatifs ne
changent plus. Ne disposant pas de formule explicite pour l’int´ egrale (13.20),
on a suppos´ e que la valeur exacte de I(f) est donn´ ee par CS pour k = 12, soit
I
(CS)
12
= 100.0613683179612.
On a trac´ e sur la Figure 13.10 l’erreur relative |I
(CS)
12
− I k |/I 12 en ´ echelle
logarithmique, pour k = 0, . . . , 7, I k ´ etant un ´ el´ ement de la suite pour les trois
formules consid´ er´ ees. A titre de comparaison, on a aussi repr´ esent´ e le graphe
de l’erreur relative correspondant `
a la formule adaptative AD, appliqu´ ee ` a
un nombre de subdivisions (non uniformes) ´ equivalent `
a celui des formules
composites.
Remarquer qu’` a nombre de subdivisions ´ egal, la formule AD est plus pr´ ecise, avec une erreur relative de 2.06 · 10
−7 obtenue avec 37 subdivisions (non
uniformes) de [0, L]. Les m´ ethodes PM et TR atteignent une pr´ ecision comparable avec respectivement 2048 et 4096 sous-intervalles uniformes, tandis que
CS en n´ ecessite environ 64. L’efficacit´ e du proc´ ed´ e adaptatif apparaˆ ıt clairement sur les trac´ es de la Figure 13.11. On y voit `
a gauche le graphe de f et
la distribution des noeuds de quadrature. A droite de la mˆ eme figure, on a
trac´ e la fonction ∆ h (x) qui repr´ esente la densit´ e (constante par morceau) du
pas d’int´ egration h, d´ efini comme l’inverse de la valeur h sur chaque intervalle
actif A (voir Section 8.6.2).
Remarquer aussi la valeur ´ elev´ ee de ∆ h en x = 0, o` u les d´ eriv´ ees de f sont
maximales.
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Pour le calcul approch´ e de R, on a consid´ er´ e les formules composites
du point milieu, not´ ee dans la suite (MP), du trap` eze (TR), de CavalieriSimpson (CS), et `
a titre de comparaison la formule de quadrature adaptative
de Cavalieri-Simpson introduite `
a la Section 8.6.2, not´ ee (AD).
Pour les tests num´ eriques, on a pris α = 50, β = 5/3 et γ = 1/4, et on a
ex´ ecut´ e le Programme 65 avec tol=10
−4 et hmin=10
−3 .
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10
−8
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
(TR)
(PM)
(CS)
(AD)
Fig. 13.10. Erreurs relatives dans le calcul approch´ e de l’int´ egrale
L
0
(αxe
−γx )/(x+
β)dx
On a calcul´ e les suites d’int´ egrales ` a l’aide des formules composites avec m k =
2
k partitions uniformes de [0, L], pour k = 0, . . . , 12. Au-del` a de k = 12
(m k vaut alors 2
12 = 4096), dans le cas de CS, les chiffres significatifs ne
changent plus. Ne disposant pas de formule explicite pour l’int´ egrale (13.20),
on a suppos´ e que la valeur exacte de I(f) est donn´ ee par CS pour k = 12, soit
I
(CS)
12
= 100.0613683179612.
On a trac´ e sur la Figure 13.10 l’erreur relative |I
(CS)
12
− I k |/I 12 en ´ echelle
logarithmique, pour k = 0, . . . , 7, I k ´ etant un ´ el´ ement de la suite pour les trois
formules consid´ er´ ees. A titre de comparaison, on a aussi repr´ esent´ e le graphe
de l’erreur relative correspondant `
a la formule adaptative AD, appliqu´ ee ` a
un nombre de subdivisions (non uniformes) ´ equivalent `
a celui des formules
composites.
Remarquer qu’` a nombre de subdivisions ´ egal, la formule AD est plus pr´ ecise, avec une erreur relative de 2.06 · 10
−7 obtenue avec 37 subdivisions (non
uniformes) de [0, L]. Les m´ ethodes PM et TR atteignent une pr´ ecision comparable avec respectivement 2048 et 4096 sous-intervalles uniformes, tandis que
CS en n´ ecessite environ 64. L’efficacit´ e du proc´ ed´ e adaptatif apparaˆ ıt clairement sur les trac´ es de la Figure 13.11. On y voit `
a gauche le graphe de f et
la distribution des noeuds de quadrature. A droite de la mˆ eme figure, on a
trac´ e la fonction ∆ h (x) qui repr´ esente la densit´ e (constante par morceau) du
pas d’int´ egration h, d´ efini comme l’inverse de la valeur h sur chaque intervalle
actif A (voir Section 8.6.2).
Remarquer aussi la valeur ´ elev´ ee de ∆ h en x = 0, o` u les d´ eriv´ ees de f sont
maximales.