2.2 Stabilit´ e des m´ ethodes num´ eriques
37
dans un voisinage de d : dans ce cas, en effet, x = ϕ
−1 (d) et la r´ esolvante est donn´ ee
par G = ϕ
−1 . Puisque (ϕ
−1 )
(d) = [ϕ
(x)]
−1 , (2.7) s’´ ecrit, pour d = 0,
K(d) |[ϕ
(x)]
−1 |
|d|
|x|
,
(2.10)
et, si d (ou x) est ´ egal `
a z´ ero,
Kabs(d) |[ϕ
(x)]
−1 |.
(2.11)
Le probl` eme est donc mal pos´ e si x est une racine multiple de ϕ(x) − d ; il est
mal conditionn´ e quand ϕ
(x) est “petit”, bien conditionn´ e quand ϕ
(x) est “grand”.
Nous aborderons ce sujet plus en d´ etail `
a la Section 6.1.
•
D’apr` es (2.7), la quantit´ e G
(d) est une approximation de K abs (d). On l’appelle parfois conditionnement absolu au premier ordre. Ce dernier repr´ esente
la limite de la constante de Lipschitz de G quand la perturbation des donn´ ees
tend vers z´ ero.
Une telle quantit´ e ne fournit pas toujours une bonne estimation du conditionnement K abs (d). Cela se produit, par exemple, quand G
s’annule en un
point tandis que G est non nulle sur un voisinage du mˆ eme point. Prenons par
exemple x = G(d) = cos(d) − 1 pour d ∈] − π/2, π/2[ ; on a bien G
(0) = 0,
alors que K abs (0) = 2/π.
2.2 Stabilit´ e des m´ ethodes num´ eriques
Nous supposerons d´ esormais que le probl` eme (2.1) est bien pos´ e. Une m´ ethode
num´ erique pour approcher la solution de (2.1) consistera, en g´ en´ eral, en une
suite de probl` emes approch´ es
F n (x n , d n ) = 0
n ≥ 1
(2.12)
d´ ependant d’un certain param` etre n (` a d´ efinir au cas par cas). L’attente naturelle est que x n → x quand n → ∞, i.e. que la solution num´ erique converge
vers la solution exacte. Pour cela, il est n´ ecessaire que d n → d et que F n “approche” F , quand n → ∞. Plus pr´ ecis´ ement, si la donn´ ee d du probl` eme (2.1)
est admissible pour F n , nous dirons que la m´ ethode num´ erique (2.12) est
consistante si
F n (x, d) = F n (x, d) − F (x, d) → 0 pour n → ∞
(2.13)
o` u x est la solution du probl` eme (2.1) correspondant `
a la donn´ ee d.
Dans les chapitres suivants, nous pr´ eciserons cette d´ efinition pour chaque
classe de probl` emes consid´ er´ ee.
Une m´ ethode est dite fortement consistante si F n (x, d) = 0 pour toute
valeur de n (et pas seulement pour n → ∞).
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dans un voisinage de d : dans ce cas, en effet, x = ϕ
−1 (d) et la r´ esolvante est donn´ ee
par G = ϕ
−1 . Puisque (ϕ
−1 )
(d) = [ϕ
(x)]
−1 , (2.7) s’´ ecrit, pour d = 0,
K(d) |[ϕ
(x)]
−1 |
|d|
|x|
,
(2.10)
et, si d (ou x) est ´ egal `
a z´ ero,
Kabs(d) |[ϕ
(x)]
−1 |.
(2.11)
Le probl` eme est donc mal pos´ e si x est une racine multiple de ϕ(x) − d ; il est
mal conditionn´ e quand ϕ
(x) est “petit”, bien conditionn´ e quand ϕ
(x) est “grand”.
Nous aborderons ce sujet plus en d´ etail `
a la Section 6.1.
•
D’apr` es (2.7), la quantit´ e G
(d) est une approximation de K abs (d). On l’appelle parfois conditionnement absolu au premier ordre. Ce dernier repr´ esente
la limite de la constante de Lipschitz de G quand la perturbation des donn´ ees
tend vers z´ ero.
Une telle quantit´ e ne fournit pas toujours une bonne estimation du conditionnement K abs (d). Cela se produit, par exemple, quand G
s’annule en un
point tandis que G est non nulle sur un voisinage du mˆ eme point. Prenons par
exemple x = G(d) = cos(d) − 1 pour d ∈] − π/2, π/2[ ; on a bien G
(0) = 0,
alors que K abs (0) = 2/π.
2.2 Stabilit´ e des m´ ethodes num´ eriques
Nous supposerons d´ esormais que le probl` eme (2.1) est bien pos´ e. Une m´ ethode
num´ erique pour approcher la solution de (2.1) consistera, en g´ en´ eral, en une
suite de probl` emes approch´ es
F n (x n , d n ) = 0
n ≥ 1
(2.12)
d´ ependant d’un certain param` etre n (` a d´ efinir au cas par cas). L’attente naturelle est que x n → x quand n → ∞, i.e. que la solution num´ erique converge
vers la solution exacte. Pour cela, il est n´ ecessaire que d n → d et que F n “approche” F , quand n → ∞. Plus pr´ ecis´ ement, si la donn´ ee d du probl` eme (2.1)
est admissible pour F n , nous dirons que la m´ ethode num´ erique (2.12) est
consistante si
F n (x, d) = F n (x, d) − F (x, d) → 0 pour n → ∞
(2.13)
o` u x est la solution du probl` eme (2.1) correspondant `
a la donn´ ee d.
Dans les chapitres suivants, nous pr´ eciserons cette d´ efinition pour chaque
classe de probl` emes consid´ er´ ee.
Une m´ ethode est dite fortement consistante si F n (x, d) = 0 pour toute
valeur de n (et pas seulement pour n → ∞).