36
2 Les fondements du calcul scientifique
F (x, p) = x
2 − 2px + 1, la donn´ ee d est le coefficient p, tandis que x est le vecteur de composantes {x+, x−}. Afin d’´ evaluer le conditionnement, remarquons que
le probl` eme peut s’´ ecrire sous la forme (2.6) avec G : R → R
2 , G(p) = {x+, x−}.
Posons G±(p) = p ±
p 2 − 1, d’o` u G
± (p) = 1 ± p/
p 2 − 1. En utilisant (2.7) et
en posant p = |p|, G(p) = G(p)2 =
[G+(p)]
2 + [G−(p)]
2
1/2 , G
(p) =
(p)2 =
[G
+ (p)]
2 + [G
− (p)]
2
1/2 , nous obtenons
K(p)
|p|
p 2 − 1
,
p>1.
(2.8)
Il d´ ecoule de (2.8) que, dans le cas o` u les racines sont s´ epar´ ees (disons quand p ≥
√
2),
le probl` eme F (x, p) = 0 est bien conditionn´ e. Le comportement change compl` etement dans le cas d’une racine multiple, c’est-` a-dire quand p = 1. On constate tout
d’abord que la fonction G±(p) = p±
p 2 − 1 n’est plus diff´ erentiable en p = 1, (2.8)
ne s’applique donc plus. D’autre part, cette derni` ere ´ equation montre que le probl` eme consid´ er´ e est mal conditionn´ e pour p voisin de 1. N´ eanmoins, le probl` eme n’est
pas mal pos´ e. Comme indiqu´ e ` a la Remarque 2.2, il est en effet possible de l’´ ecrire
sous la forme ´ equivalente F (x, t) = x
2 − ((1 + t
2 )/t)x + 1 = 0, avec t = p +
p 2 − 1.
Les racines de cette ´ equation sont x− = t et x+ = 1/t, elles co¨ ıncident pour t = 1.
Ce changement de param` etre supprime ainsi la singularit´ e pr´ esente dans la premi` ere
repr´ esentation des racines en fonction de p. En effet, les deux racines x− = x−(t) et
x+ = x+(t) sont `
a pr´ esent des fonctions r´ eguli` eres de t dans le voisinage de t = 1 et
l’´ evaluation du conditionnement par (2.7) conduit `
a K(t) 1 pour toute valeur de
t. Le probl` eme transform´ e est par cons´ equent bien conditionn´ e.
•
Exemple 2.3 (syst` emes d’´ equations lin´ eaires) Consid´ erons le syst` eme lin´ eaire
Ax = b, o` u x et b sont deux vecteurs de R
n , et A est la matrice n × n des coefficients du syst` eme. Supposons A inversible ; dans ce cas x est la solution inconnue x,
tandis que les donn´ ees d sont le second membre b et la matrice A, autrement dit,
d = {bi, aij , 1 ≤ i, j ≤ n}.
Supposons ` a pr´ esent qu’on perturbe seulement le second membre b. Nous avons
d = b, x = G(b) = A
−1 b de sorte que, G
(b) = A
−1 , et (2.7) entraˆ ıne
K(d)
−1
A −1 b
=
x
−1 ≤ ≤A
−1 = K(A),
(2.9)
o` u K(A) est le conditionnement de la matrice A (voir Section 3.1.1), et o` u il est
sous-entendu qu’on utilise une norme matricielle appropri´ ee. Par cons´ equent, si le
conditionnement de A est “petit”, la r´ esolution du syst` eme lin´ eaire Ax=b est un
probl` eme stable par rapport aux perturbations du second membre b. La stabilit´ e
par rapport aux perturbations des coefficients de A sera analys´ ee au Chapitre 3,
Section 3.9.
•
Exemple 2.4 (´ equations non lin´ eaires) Soit f : R → R une fonction de classe
C
1 . Consid´ erons l’´ equation non lin´ eaire
F (x, d) = f (x) = ϕ(x) − d = 0,
o` u d ∈ R est une donn´ ee (´ eventuellement ´ egale `
a z´ ero) et ϕ : R → R est une fonction
telle que ϕ = f + d . Le probl` eme est bien d´ efini `
a condition que ϕ soit inversible
2 Les fondements du calcul scientifique
F (x, p) = x
2 − 2px + 1, la donn´ ee d est le coefficient p, tandis que x est le vecteur de composantes {x+, x−}. Afin d’´ evaluer le conditionnement, remarquons que
le probl` eme peut s’´ ecrire sous la forme (2.6) avec G : R → R
2 , G(p) = {x+, x−}.
Posons G±(p) = p ±
p 2 − 1, d’o` u G
± (p) = 1 ± p/
p 2 − 1. En utilisant (2.7) et
en posant p = |p|, G(p) = G(p)2 =
[G+(p)]
2 + [G−(p)]
2
1/2 , G
(p) =
(p)2 =
[G
+ (p)]
2 + [G
− (p)]
2
1/2 , nous obtenons
K(p)
|p|
p 2 − 1
,
p>1.
(2.8)
Il d´ ecoule de (2.8) que, dans le cas o` u les racines sont s´ epar´ ees (disons quand p ≥
√
2),
le probl` eme F (x, p) = 0 est bien conditionn´ e. Le comportement change compl` etement dans le cas d’une racine multiple, c’est-` a-dire quand p = 1. On constate tout
d’abord que la fonction G±(p) = p±
p 2 − 1 n’est plus diff´ erentiable en p = 1, (2.8)
ne s’applique donc plus. D’autre part, cette derni` ere ´ equation montre que le probl` eme consid´ er´ e est mal conditionn´ e pour p voisin de 1. N´ eanmoins, le probl` eme n’est
pas mal pos´ e. Comme indiqu´ e ` a la Remarque 2.2, il est en effet possible de l’´ ecrire
sous la forme ´ equivalente F (x, t) = x
2 − ((1 + t
2 )/t)x + 1 = 0, avec t = p +
p 2 − 1.
Les racines de cette ´ equation sont x− = t et x+ = 1/t, elles co¨ ıncident pour t = 1.
Ce changement de param` etre supprime ainsi la singularit´ e pr´ esente dans la premi` ere
repr´ esentation des racines en fonction de p. En effet, les deux racines x− = x−(t) et
x+ = x+(t) sont `
a pr´ esent des fonctions r´ eguli` eres de t dans le voisinage de t = 1 et
l’´ evaluation du conditionnement par (2.7) conduit `
a K(t) 1 pour toute valeur de
t. Le probl` eme transform´ e est par cons´ equent bien conditionn´ e.
•
Exemple 2.3 (syst` emes d’´ equations lin´ eaires) Consid´ erons le syst` eme lin´ eaire
Ax = b, o` u x et b sont deux vecteurs de R
n , et A est la matrice n × n des coefficients du syst` eme. Supposons A inversible ; dans ce cas x est la solution inconnue x,
tandis que les donn´ ees d sont le second membre b et la matrice A, autrement dit,
d = {bi, aij , 1 ≤ i, j ≤ n}.
Supposons ` a pr´ esent qu’on perturbe seulement le second membre b. Nous avons
d = b, x = G(b) = A
−1 b de sorte que, G
(b) = A
−1 , et (2.7) entraˆ ıne
K(d)
−1
A −1 b
=
x
−1 ≤ ≤A
−1 = K(A),
(2.9)
o` u K(A) est le conditionnement de la matrice A (voir Section 3.1.1), et o` u il est
sous-entendu qu’on utilise une norme matricielle appropri´ ee. Par cons´ equent, si le
conditionnement de A est “petit”, la r´ esolution du syst` eme lin´ eaire Ax=b est un
probl` eme stable par rapport aux perturbations du second membre b. La stabilit´ e
par rapport aux perturbations des coefficients de A sera analys´ ee au Chapitre 3,
Section 3.9.
•
Exemple 2.4 (´ equations non lin´ eaires) Soit f : R → R une fonction de classe
C
1 . Consid´ erons l’´ equation non lin´ eaire
F (x, d) = f (x) = ϕ(x) − d = 0,
o` u d ∈ R est une donn´ ee (´ eventuellement ´ egale `
a z´ ero) et ϕ : R → R est une fonction
telle que ϕ = f + d . Le probl` eme est bien d´ efini `
a condition que ϕ soit inversible