2.1 Probl` emes bien pos´ es et conditionnements
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On dit que le probl` eme (2.1) est mal conditionn´ e si K(d) est “grand” pour
toute donn´ ee admissible d (le sens pr´ ecis de “petit” et “grand” change en
fonction du probl` eme consid´ er´ e).
Le fait qu’un probl` eme soit bien conditionn´ e est une propri´ et´ e ind´ ependante de la m´ ethode num´ erique choisie pour le r´ esoudre. Il est possible de
d´ evelopper des m´ ethodes stables ou instables pour r´ esoudre des probl` emes
bien conditionn´ es. La notion de stabilit´ e d’un algorithme ou d’une m´ ethode
num´ erique est analogue `
a celle utilis´ ee pour le probl` eme (2.1) et sera pr´ ecis´ ee
dans la prochaine section.
Remarque 2.2 (probl` emes mal pos´ es) Mˆ eme dans le cas o` u le conditionnement n’existe pas (quand il est formellement infini), le probl` eme n’est pas
n´ ecessairement mal pos´ e. Il existe en effet des probl` emes bien pos´ es (comme la
recherche des racines multiples d’une ´ equation alg´ ebrique, voir l’Exemple 2.2)
pour lesquels le conditionnement est infini, mais qui peuvent ˆ etre reformul´ es
en probl` emes ´ equivalents (c’est-` a-dire poss´ edant les mˆ emes solutions) ayant
un conditionnement fini.
Si le probl` eme (2.1) admet une unique solution, alors il existe une application G, appel´ ee r´ esolvante, de l’ensemble des donn´ ees sur celui des solutions,
telle que
x = G(d), c’est-` a-dire F (G(d), d) = 0.
(2.6)
Selon cette d´ efinition, (2.2) implique x + δx = G(d + δd). Supposons G diff´ erentiable en d et notons formellement G
(d) sa d´ eriv´ ee par rapport `
a d (si
G : R
n
→ R
m , G
(d) sera la matrice jacobienne de G ´ evalu´ ee en d), un d´ eveloppement de Taylor donne
G(d + δd) − G(d) = G
(d)δd + o(δd)
pourδd → 0,
o` u · · est une norme convenable pour δd et o(·) est le symbole infinit´ esimal
classique (notation de Landau) d´ esignant un infiniment petit par rapport `
a ses
arguments. En n´ egligeant l’infiniment petit d’ordre le plus grand par rapport
` a δd, on d´ eduit respectivement de (2.4) et (2.5) que
K(d)
(d)
G(d)
,
K abs (d)
(d)
(2.7)
le symbole · · d´ esignant la norme matricielle (d´ efinie en (1.20)) subordonn´ ee
` a la norme vectorielle. Les estimations (2.7) sont d’un grand int´ erˆ et pratique
dans l’analyse des probl` emes de la forme (2.6), comme le montrent les exemples
suivants.
Exemple 2.2 (´ equations du second degr´ e) Les solutions de l’´ equation alg´ ebrique x
2 − 2px + 1 = 0, avec p ≥ 1, sont x± = p ±
p 2 − 1. Dans ce cas,
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On dit que le probl` eme (2.1) est mal conditionn´ e si K(d) est “grand” pour
toute donn´ ee admissible d (le sens pr´ ecis de “petit” et “grand” change en
fonction du probl` eme consid´ er´ e).
Le fait qu’un probl` eme soit bien conditionn´ e est une propri´ et´ e ind´ ependante de la m´ ethode num´ erique choisie pour le r´ esoudre. Il est possible de
d´ evelopper des m´ ethodes stables ou instables pour r´ esoudre des probl` emes
bien conditionn´ es. La notion de stabilit´ e d’un algorithme ou d’une m´ ethode
num´ erique est analogue `
a celle utilis´ ee pour le probl` eme (2.1) et sera pr´ ecis´ ee
dans la prochaine section.
Remarque 2.2 (probl` emes mal pos´ es) Mˆ eme dans le cas o` u le conditionnement n’existe pas (quand il est formellement infini), le probl` eme n’est pas
n´ ecessairement mal pos´ e. Il existe en effet des probl` emes bien pos´ es (comme la
recherche des racines multiples d’une ´ equation alg´ ebrique, voir l’Exemple 2.2)
pour lesquels le conditionnement est infini, mais qui peuvent ˆ etre reformul´ es
en probl` emes ´ equivalents (c’est-` a-dire poss´ edant les mˆ emes solutions) ayant
un conditionnement fini.
Si le probl` eme (2.1) admet une unique solution, alors il existe une application G, appel´ ee r´ esolvante, de l’ensemble des donn´ ees sur celui des solutions,
telle que
x = G(d), c’est-` a-dire F (G(d), d) = 0.
(2.6)
Selon cette d´ efinition, (2.2) implique x + δx = G(d + δd). Supposons G diff´ erentiable en d et notons formellement G
(d) sa d´ eriv´ ee par rapport `
a d (si
G : R
n
→ R
m , G
(d) sera la matrice jacobienne de G ´ evalu´ ee en d), un d´ eveloppement de Taylor donne
G(d + δd) − G(d) = G
(d)δd + o(δd)
pourδd → 0,
o` u · · est une norme convenable pour δd et o(·) est le symbole infinit´ esimal
classique (notation de Landau) d´ esignant un infiniment petit par rapport `
a ses
arguments. En n´ egligeant l’infiniment petit d’ordre le plus grand par rapport
` a δd, on d´ eduit respectivement de (2.4) et (2.5) que
K(d)
(d)
G(d)
,
K abs (d)
(d)
(2.7)
le symbole · · d´ esignant la norme matricielle (d´ efinie en (1.20)) subordonn´ ee
` a la norme vectorielle. Les estimations (2.7) sont d’un grand int´ erˆ et pratique
dans l’analyse des probl` emes de la forme (2.6), comme le montrent les exemples
suivants.
Exemple 2.2 (´ equations du second degr´ e) Les solutions de l’´ equation alg´ ebrique x
2 − 2px + 1 = 0, avec p ≥ 1, sont x± = p ±
p 2 − 1. Dans ce cas,