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2 Les fondements du calcul scientifique
Exemple 2.1 Un cas simple de probl` eme mal pos´ e est la d´ etermination du nombre
de racines r´ eelles d’un polynˆ ome. Par exemple, le nombre de racines r´ eelles du polynˆ ome p(x) = x
4 − x
2 (2a − 1) + a(a − 1) varie de fa¸ con discontinue quand a varie
continˆ ument sur la droite r´ eelle. Il y a en effet 4 racines r´ eelles si a ≥ 1, 2 si a ∈ [0, 1[
et il n’y en a aucune si a < 0.
•
La d´ ependance continue par rapport aux donn´ ees signifie que de petites
perturbations sur les donn´ ees d induisent de “petites” modifications de la solution x. Plus pr´ ecis´ ement, soient δd une perturbation admissible des donn´ ees
et δx la modification induite sur la solution telles que
F (x + δx, d + δd) = 0.
(2.2)
On veut alors que
∃η 0 = η 0 (d) > 0, ∃K 0 = K 0 (d) tels que
si δd ≤ η 0 alors δx ≤ K 0 δd.
(2.3)
Les normes utilis´ ees pour les donn´ ees et pour la solution peuvent ne pas ˆ etre
les mˆ emes (en particulier quand d et x repr´ esentent des variables de nature
diff´ erente).
Remarque 2.1 On aurait pu ´ enoncer la propri´ et´ e de d´ ependance continue
par rapport aux donn´ ees sous la forme alternative suivante, plus proche de sa
forme classique en analyse,
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) tel que si δd ≤ δ alors δx ≤ ε.
La forme (2.3) sera cependant plus commode pour exprimer le concept de
stabilit´ e num´ erique, c’est-` a-dire, la propri´ et´ e selon laquelle de petites perturbations sur les donn´ ees entrainent des perturbations du mˆ eme ordre sur la
solution.
Afin de rendre cette analyse plus quantitative, nous introduisons la d´ efinition
suivante :
D´ efinition 2.1 Pour le probl` eme (2.1), nous d´ efinissons le conditionnement
relatif par
K(d) = sup
δx/x
δd/d
, δd = 0, d + δd ∈ D
.
(2.4)
Quand d = 0 ou x = 0, il est n´ ecessaire d’introduire le conditionnement
absolu, d´ efini par
K abs (d) = sup
δx
δd
, δd = 0, d + δd ∈ D
.
(2.5)
2 Les fondements du calcul scientifique
Exemple 2.1 Un cas simple de probl` eme mal pos´ e est la d´ etermination du nombre
de racines r´ eelles d’un polynˆ ome. Par exemple, le nombre de racines r´ eelles du polynˆ ome p(x) = x
4 − x
2 (2a − 1) + a(a − 1) varie de fa¸ con discontinue quand a varie
continˆ ument sur la droite r´ eelle. Il y a en effet 4 racines r´ eelles si a ≥ 1, 2 si a ∈ [0, 1[
et il n’y en a aucune si a < 0.
•
La d´ ependance continue par rapport aux donn´ ees signifie que de petites
perturbations sur les donn´ ees d induisent de “petites” modifications de la solution x. Plus pr´ ecis´ ement, soient δd une perturbation admissible des donn´ ees
et δx la modification induite sur la solution telles que
F (x + δx, d + δd) = 0.
(2.2)
On veut alors que
∃η 0 = η 0 (d) > 0, ∃K 0 = K 0 (d) tels que
si δd ≤ η 0 alors δx ≤ K 0 δd.
(2.3)
Les normes utilis´ ees pour les donn´ ees et pour la solution peuvent ne pas ˆ etre
les mˆ emes (en particulier quand d et x repr´ esentent des variables de nature
diff´ erente).
Remarque 2.1 On aurait pu ´ enoncer la propri´ et´ e de d´ ependance continue
par rapport aux donn´ ees sous la forme alternative suivante, plus proche de sa
forme classique en analyse,
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) tel que si δd ≤ δ alors δx ≤ ε.
La forme (2.3) sera cependant plus commode pour exprimer le concept de
stabilit´ e num´ erique, c’est-` a-dire, la propri´ et´ e selon laquelle de petites perturbations sur les donn´ ees entrainent des perturbations du mˆ eme ordre sur la
solution.
Afin de rendre cette analyse plus quantitative, nous introduisons la d´ efinition
suivante :
D´ efinition 2.1 Pour le probl` eme (2.1), nous d´ efinissons le conditionnement
relatif par
K(d) = sup
δx/x
δd/d
, δd = 0, d + δd ∈ D
.
(2.4)
Quand d = 0 ou x = 0, il est n´ ecessaire d’introduire le conditionnement
absolu, d´ efini par
K abs (d) = sup
δx
δd
, δd = 0, d + δd ∈ D
.
(2.5)