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Les fondements du calcul scientifique
Nous introduisons dans la premi` ere partie de ce chapitre les concepts de base
de consistance, stabilit´ e et convergence d’une m´ ethode num´ erique dans un
contexte tr` es g´ en´ eral : ils fournissent le cadre classique pour l’analyse des
m´ ethodes pr´ esent´ ees dans la suite. La seconde partie du chapitre traite de la
repr´ esentation finie des nombres r´ eels dans les ordinateurs et de l’analyse de
la propagation d’erreurs dans les op´ erations effectu´ ees par les machines.
2.1 Probl` emes bien pos´ es et conditionnements
Consid´ erons le probl` eme suivant : trouver x tel que
F (x, d) = 0 ,
(2.1)
o` u d est l’ensemble des donn´ ees dont d´ epend la solution et F est une relation
fonctionnelle entre x et d. Selon la nature du probl` eme qui est repr´ esent´ e
en (2.1), les variables x et d peuvent ˆ etre des nombres r´ eels, des vecteurs ou
des fonctions. Typiquement, on dit que (2.1) est un probl` eme direct si F et
d sont les donn´ ees et x l’inconnue, un probl` eme inverse si F et x sont les
donn´ ees et d l’inconnue, un probl` eme d’identification si x et d sont donn´ ees
et la relation fonctionnelle F est inconnue (ces derniers probl` emes ne seront
pas abord´ es dans cet ouvrage).
Le probl` eme (2.1) est bien pos´ e si la solution x existe, est unique et d´ epend
continˆ ument des donn´ ees. Nous utiliserons indiff´ eremment les termes bien pos´ e
et stable et nous ne consid´ ererons dans la suite que des probl` emes bien pos´ es.
Un probl` eme qui ne poss` ede pas la propri´ et´ e ci-dessus est dit mal pos´ e ou
instable. Il faut alors le r´ egulariser, c’est-` a-dire le transformer convenablement
en un probl` eme bien pos´ e (voir par exemple [Mor84]), avant d’envisager sa r´ esolution num´ erique. Il n’est en effet pas raisonnable d’esp´ erer qu’une m´ ethode
num´ erique traite les pathologies intrins` eques d’un probl` eme mal pos´ e.
Les fondements du calcul scientifique
Nous introduisons dans la premi` ere partie de ce chapitre les concepts de base
de consistance, stabilit´ e et convergence d’une m´ ethode num´ erique dans un
contexte tr` es g´ en´ eral : ils fournissent le cadre classique pour l’analyse des
m´ ethodes pr´ esent´ ees dans la suite. La seconde partie du chapitre traite de la
repr´ esentation finie des nombres r´ eels dans les ordinateurs et de l’analyse de
la propagation d’erreurs dans les op´ erations effectu´ ees par les machines.
2.1 Probl` emes bien pos´ es et conditionnements
Consid´ erons le probl` eme suivant : trouver x tel que
F (x, d) = 0 ,
(2.1)
o` u d est l’ensemble des donn´ ees dont d´ epend la solution et F est une relation
fonctionnelle entre x et d. Selon la nature du probl` eme qui est repr´ esent´ e
en (2.1), les variables x et d peuvent ˆ etre des nombres r´ eels, des vecteurs ou
des fonctions. Typiquement, on dit que (2.1) est un probl` eme direct si F et
d sont les donn´ ees et x l’inconnue, un probl` eme inverse si F et x sont les
donn´ ees et d l’inconnue, un probl` eme d’identification si x et d sont donn´ ees
et la relation fonctionnelle F est inconnue (ces derniers probl` emes ne seront
pas abord´ es dans cet ouvrage).
Le probl` eme (2.1) est bien pos´ e si la solution x existe, est unique et d´ epend
continˆ ument des donn´ ees. Nous utiliserons indiff´ eremment les termes bien pos´ e
et stable et nous ne consid´ ererons dans la suite que des probl` emes bien pos´ es.
Un probl` eme qui ne poss` ede pas la propri´ et´ e ci-dessus est dit mal pos´ e ou
instable. Il faut alors le r´ egulariser, c’est-` a-dire le transformer convenablement
en un probl` eme bien pos´ e (voir par exemple [Mor84]), avant d’envisager sa r´ esolution num´ erique. Il n’est en effet pas raisonnable d’esp´ erer qu’une m´ ethode
num´ erique traite les pathologies intrins` eques d’un probl` eme mal pos´ e.